MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer 21294
Description: Cramer's rule. According to Wikipedia "Cramer's rule", 21-Feb-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule: "[Cramer's rule] ... expresses the [unique] solution [of a system of linear equations] in terms of the determinants of the (square) coefficient matrix and of matrices obtained from it by replacing one column by the column vector of right-hand sides of the equations." If it is assumed that a (unique) solution exists, it can be obtained by Cramer's rule (see also cramerimp 21289). On the other hand, if a vector can be constructed by Cramer's rule, it is a solution of the system of linear equations, so at least one solution exists. The uniqueness is ensured by considering only systems of linear equations whose matrix has a unit (of the underlying ring) as determinant, see matunit 21281 or slesolinv 21283. For fields as underlying rings, this requirement is equivalent to the determinant not being 0. Theorem 4.4 in [Lang] p. 513. This is Metamath 100 proof #97. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2019.) (Revised by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramer (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer
StepHypRef Expression
1 pm3.22 463 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing))
2 cramer.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cramer.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 cramer.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
5 cramer.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
6 cramer.x . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
7 cramer.q . . . 4 / = (/r𝑅)
82, 3, 4, 5, 6, 7cramerlem3 21292 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
91, 8syl3an1 1160 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
10 simpl1l 1221 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
11 simpl2 1189 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝑉))
12 simpl3 1190 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
13 crngring 19300 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1413anim1ci 618 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1514anim1i 617 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)))
16153adant3 1129 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)))
172, 3, 4, 6slesolvec 21282 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
1817imp 410 . . . . 5 ((((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
1916, 18sylan 583 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
20 simpr 488 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
212, 3, 4, 5, 6, 7cramerlem1 21290 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
2210, 11, 12, 19, 20, 21syl113anc 1379 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
2322ex 416 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
249, 23impbid 215 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  c0 4265  cop 4545  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  m cmap 8393  Basecbs 16474  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289  Unitcui 19383  /rcdvr 19426   Mat cmat 21010   maVecMul cmvmul 21143   matRepV cmatrepV 21160   maDet cmdat 21187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-efmnd 18025  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-symg 18487  df-pmtr 18561  df-psgn 18610  df-evpm 18611  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-srg 19247  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-zring 20162  df-zrh 20195  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-assa 20540  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-mvmul 21144  df-marrep 21161  df-marepv 21162  df-subma 21180  df-mdet 21188  df-madu 21237  df-minmar1 21238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator