Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem3 20898
 Description: Lemma 3 for cramerimp 20899: The determinant of the matrix of a system of linear equations multiplied with the determinant of the identity matrix with the ith column replaced by the solution vector of the system of linear equations equals the determinant of the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the right-hand side vector of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimp.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
cramerimp.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramerimp.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramerimp.t = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐷𝑋) (𝐷𝐸)) = (𝐷𝐻))

Proof of Theorem cramerimplem3
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
2 cramerimp.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cramerimp.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐴)
42, 3matrcl 20622 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
54simpld 490 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
65adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
71, 6anim12ci 607 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
873adant3 1123 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
9 eqid 2778 . . . . . 6 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
102, 9matmulr 20648 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
1211oveqd 6939 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝐸) = (𝑋(.r𝐴)𝐸))
1312fveq2d 6450 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝐷‘(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝐸)) = (𝐷‘(𝑋(.r𝐴)𝐸)))
14 cramerimp.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
15 cramerimp.e . . . 4 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
16 cramerimp.h . . . 4 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝐼)
17 cramerimp.x . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
182, 3, 14, 15, 16, 17, 9cramerimplem2 20897 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝐸) = 𝐻)
1918fveq2d 6450 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝐷‘(𝑋(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝐸)) = (𝐷𝐻))
20 simp1l 1211 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑅 ∈ CRing)
21 simp2l 1213 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
22 crngring 18945 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
2423, 6anim12i 606 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
25243adant3 1123 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
26 ne0i 4149 . . . . . . . 8 (𝐼𝑁𝑁 ≠ ∅)
2722, 26anim12ci 607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
282, 3, 14, 17slesolvec 20891 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
2927, 28sylan 575 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
30293impia 1106 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍𝑉)
31 simp1r 1212 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐼𝑁)
32 eqid 2778 . . . . . 6 (1r𝐴) = (1r𝐴)
332, 3, 14, 32ma1repvcl 20781 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
3425, 30, 31, 33syl12anc 827 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ 𝐵)
3515, 34syl5eqel 2863 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝐸𝐵)
36 cramerimp.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
37 cramerimp.t . . . 4 = (.r𝑅)
38 eqid 2778 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
392, 3, 36, 37, 38mdetmul 20834 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵𝐸𝐵) → (𝐷‘(𝑋(.r𝐴)𝐸)) = ((𝐷𝑋) (𝐷𝐸)))
4020, 21, 35, 39syl3anc 1439 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝐷‘(𝑋(.r𝐴)𝐸)) = ((𝐷𝑋) (𝐷𝐸)))
4113, 19, 403eqtr3rd 2823 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐷𝑋) (𝐷𝐸)) = (𝐷𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398  ∅c0 4141  ⟨cop 4404  ⟨cotp 4406  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  1rcur 18888  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935   maMul cmmul 20593   Mat cmat 20617   maVecMul cmvmul 20751   matRepV cmatrepV 20768   maDet cmdat 20795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1583  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-reverse 13905  df-s2 13999  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-gim 18085  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-symg 18181  df-pmtr 18245  df-psgn 18294  df-evpm 18295  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-srg 18893  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mamu 20594  df-mat 20618  df-mvmul 20752  df-marepv 20770  df-mdet 20796 This theorem is referenced by:  cramerimp  20899
 Copyright terms: Public domain W3C validator