MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cramerimp 22543
Description: One direction of Cramer's rule (according to Wikipedia "Cramer's rule", 21-Feb-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule: "[Cramer's rule] ... expresses the solution [of a system of linear equations] in terms of the determinants of the (square) coefficient matrix and of matrices obtained from it by replacing one column by the column vector of right-hand sides of the equations."): The ith component of the solution vector of a system of linear equations equals the determinant of the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the righthand side vector of the system of linear equations divided by the determinant of the matrix of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramerimp.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜πΌ)
cramerimp.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramerimp.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramerimp.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramerimp (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
Proof of Theorem cramerimp
StepHypRef Expression
1 crngring 20150 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 cramerimp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
5 cramerimp.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 cramerimp.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 7mdetf 22452 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
11 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ)
125, 6matrcl 22267 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1312simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
152, 14anim12i 612 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
16153adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
17 ne0i 4329 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ 𝑁 β‰  βˆ…)
181, 17anim12ci 613 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1918anim1i 614 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
20193adant3 1129 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
21 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
22213ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
23 cramerimp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
24 cramerimp.x . . . . . . . . 9 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
255, 6, 23, 24slesolvec 22536 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉))
2620, 22, 25sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
27 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
28273ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
29 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
305, 6, 23, 29ma1repvcl 22427 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
3116, 26, 28, 30syl12anc 834 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
3211, 31eqeltrid 2831 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
3310, 32ffvelcdmd 7081 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34 simpr 484 . . . . 5 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35343ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
36 eqid 2726 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
37 cramerimp.q . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
38 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
397, 36, 37, 38dvrcan3 20312 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (π·β€˜πΈ))
403, 33, 35, 39syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (π·β€˜πΈ))
41 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
42413ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
437, 36unitcl 20277 . . . . . . 7 ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4443adantl 481 . . . . . 6 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
45443ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
467, 38crngcom 20156 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)))
4742, 33, 45, 46syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)))
4847oveq1d 7420 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)))
4914adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
5041adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
5127adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
5249, 50, 513jca 1125 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
53523adant3 1129 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
545, 23, 11, 4cramerimplem1 22540 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜πΈ) = (π‘β€˜πΌ))
5553, 26, 54syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜πΈ) = (π‘β€˜πΌ))
5640, 48, 553eqtr3rd 2775 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)))
57 cramerimp.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜πΌ)
585, 6, 23, 11, 57, 24, 4, 38cramerimplem3 22542 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) = (π·β€˜π»))
59583adant3r 1178 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) = (π·β€˜π»))
6059oveq1d 7420 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
6156, 60eqtrd 2766 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  Unitcui 20257  /rcdvr 20302   Mat cmat 22262   maVecMul cmvmul 22397   matRepV cmatrepV 22414   maDet cmdat 22441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-evpm 19412  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mvmul 22398  df-marrep 22415  df-marepv 22416  df-subma 22434  df-mdet 22442  df-minmar1 22492
This theorem is referenced by:  cramerlem1  22544
  Copyright terms: Public domain W3C validator