MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cramerimp 22179
Description: One direction of Cramer's rule (according to Wikipedia "Cramer's rule", 21-Feb-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule: "[Cramer's rule] ... expresses the solution [of a system of linear equations] in terms of the determinants of the (square) coefficient matrix and of matrices obtained from it by replacing one column by the column vector of right-hand sides of the equations."): The ith component of the solution vector of a system of linear equations equals the determinant of the matrix of the system of linear equations with the ith column replaced by the righthand side vector of the system of linear equations divided by the determinant of the matrix of the system of linear equations. (Contributed by AV, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramerimp.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramerimp.e 𝐸 = (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ)
cramerimp.h 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜πΌ)
cramerimp.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramerimp.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramerimp.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramerimp (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
Proof of Theorem cramerimp
StepHypRef Expression
1 crngring 20061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
323ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4 cramerimp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
5 cramerimp.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 cramerimp.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
7 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
84, 5, 6, 7mdetf 22088 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
1093ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐷:𝐡⟢(Baseβ€˜π‘…))
11 cramerimp.e . . . . . 6 𝐸 = (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ)
125, 6matrcl 21903 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1312simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
152, 14anim12i 613 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
16153adant3 1132 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
17 ne0i 4333 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑁 β†’ 𝑁 β‰  βˆ…)
181, 17anim12ci 614 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1918anim1i 615 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
20193adant3 1132 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
21 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
22213ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
23 cramerimp.v . . . . . . . . 9 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
24 cramerimp.x . . . . . . . . 9 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
255, 6, 23, 24slesolvec 22172 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉))
2620, 22, 25sylc 65 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
27 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
29 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
305, 6, 23, 29ma1repvcl 22063 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) β†’ (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
3116, 26, 28, 30syl12anc 835 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((1rβ€˜π΄)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)β€˜πΌ) ∈ 𝐡)
3211, 31eqeltrid 2837 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
3310, 32ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34 simpr 485 . . . . 5 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35343ad2ant3 1135 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
36 eqid 2732 . . . . 5 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
37 cramerimp.q . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
38 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
397, 36, 37, 38dvrcan3 20216 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (π·β€˜πΈ))
403, 33, 35, 39syl3anc 1371 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (π·β€˜πΈ))
41 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
42413ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
437, 36unitcl 20181 . . . . . . 7 ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4443adantl 482 . . . . . 6 (((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
45443ad2ant3 1135 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
467, 38crngcom 20067 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (π·β€˜πΈ) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)))
4742, 33, 45, 46syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)))
4847oveq1d 7420 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜πΈ)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜π‘‹)) / (π·β€˜π‘‹)) = (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)))
4914adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
5041adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
5127adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑁)
5249, 50, 513jca 1128 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
53523adant3 1132 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
545, 23, 11, 4cramerimplem1 22176 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜πΈ) = (π‘β€˜πΌ))
5553, 26, 54syl2anc 584 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π·β€˜πΈ) = (π‘β€˜πΌ))
5640, 48, 553eqtr3rd 2781 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)))
57 cramerimp.h . . . . 5 𝐻 = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜πΌ)
585, 6, 23, 11, 57, 24, 4, 38cramerimplem3 22178 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) = (π·β€˜π»))
59583adant3r 1181 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) = (π·β€˜π»))
6059oveq1d 7420 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (((π·β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(π·β€˜πΈ)) / (π·β€˜π‘‹)) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
6156, 60eqtrd 2772 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜πΌ) = ((π·β€˜π») / (π·β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  Unitcui 20161  /rcdvr 20206   Mat cmat 21898   maVecMul cmvmul 22033   matRepV cmatrepV 22050   maDet cmdat 22077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-evpm 19354  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mvmul 22034  df-marrep 22051  df-marepv 22052  df-subma 22070  df-mdet 22078  df-minmar1 22128
This theorem is referenced by:  cramerlem1  22180
  Copyright terms: Public domain W3C validator