Theorem matunit 22864

Description: A matrix is a unit in the ring of matrices iff its determinant is a unit in the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matunit.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matunit.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matunit.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem matunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		matunit.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		crngring 20350	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
8		matunit.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9		matunit.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		matunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11	8, 9, 10, 1	mdetcl 22782	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
13	8, 9, 10, 1	mdetf 22781	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
15	9, 10	matrcl 22598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ Fin)
18	9	matring 22629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	17, 7, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Ring)
20		matunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
21		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
22	20, 21, 10	ringinvcl 20499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
23	19, 22	sylancom 600	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
24	14, 23	ffvelcdmd 7084	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
26		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
27	20, 21, 25, 26	unitrinv 20501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
28	19, 27	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
29	28	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
30		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
31		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝐵)
32	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
33	30, 31, 23, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
34	8, 9, 26, 3	mdet1 22787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
35	30, 17, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
36	29, 33, 35	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (1r‘𝑅))
37	20, 21, 25, 26	unitlinv 20500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
38	19, 37	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
39	38	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
40	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
41	30, 23, 31, 40	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
42	39, 41, 35	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
43	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 24, 36, 42	invrvald 22862	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀)) = (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
44	43	simpld 500	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
45		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑁 maAdju 𝑅) = (𝑁 maAdju 𝑅)
46		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
47	9, 45, 8, 10, 20, 4, 5, 21, 46	matinv 22863	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) = (((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝐴)((𝑁 maAdju 𝑅)‘𝑀))))
48	47	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
49	48	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
50	44, 49	impbida 813	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  Basecbs 17286  ._rcmulr 17328   ·_𝑠 cvsca 17331  1_rcur 20286  Ringcrg 20338  CRingccrg 20339  Unitcui 20462  inv_rcinvr 20494   Mat cmat 22593   maDet cmdat 22770   maAdju cmadu 22818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-word 14564  df-lsw 14613  df-concat 14621  df-s1 14648  df-substr 14694  df-pfx 14726  df-splice 14804  df-reverse 14813  df-s2 14904  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-efmnd 18951  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-gim 19352  df-cntz 19410  df-oppg 19439  df-symg 19463  df-pmtr 19535  df-psgn 19584  df-evpm 19585  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-cnfld 21552  df-zring 21626  df-zrh 21682  df-dsmm 21911  df-frlm 21926  df-assa 22032  df-mamu 22577  df-mat 22594  df-mdet 22771  df-madu 22820

This theorem is used by:  slesolinv  22866  slesolinvbi  22867  slesolex  22868  matunitlindf  38302