Theorem matunit 22668

Description: A matrix is a unit in the ring of matrices iff its determinant is a unit in the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matunit.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matunit.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matunit.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem matunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		matunit.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		crngring 20224	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
8		matunit.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9		matunit.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		matunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11	8, 9, 10, 1	mdetcl 22586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
13	8, 9, 10, 1	mdetf 22585	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
15	9, 10	matrcl 22402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ Fin)
18	9	matring 22433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	17, 7, 18	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Ring)
20		matunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
21		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
22	20, 21, 10	ringinvcl 20370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
23	19, 22	sylancom 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
24	14, 23	ffvelcdmd 7033	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
26		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
27	20, 21, 25, 26	unitrinv 20372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
28	19, 27	sylancom 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
29	28	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
30		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
31		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝐵)
32	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
33	30, 31, 23, 32	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
34	8, 9, 26, 3	mdet1 22591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
35	30, 17, 34	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
36	29, 33, 35	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (1r‘𝑅))
37	20, 21, 25, 26	unitlinv 20371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
38	19, 37	sylancom 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
39	38	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
40	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
41	30, 23, 31, 40	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
42	39, 41, 35	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
43	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 24, 36, 42	invrvald 22666	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀)) = (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
44	43	simpld 495	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
45		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑁 maAdju 𝑅) = (𝑁 maAdju 𝑅)
46		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
47	9, 45, 8, 10, 20, 4, 5, 21, 46	matinv 22667	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) = (((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝐴)((𝑁 maAdju 𝑅)‘𝑀))))
48	47	simpld 495	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
49	48	3expa 1124	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
50	44, 49	impbida 806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365   Mat cmat 22397   maDet cmdat 22574   maAdju cmadu 22622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-substr 14602  df-pfx 14632  df-splice 14710  df-reverse 14719  df-s2 14808  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-gim 19232  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-symg 19343  df-pmtr 19415  df-psgn 19464  df-evpm 19465  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-assa 21835  df-mamu 22381  df-mat 22398  df-mdet 22575  df-madu 22624

This theorem is referenced by:  slesolinv  22670  slesolinvbi  22671  slesolex  22672  matunitlindf  37992