Theorem matunit 20994

Description: A matrix is a unit in the ring of matrices iff its determinant is a unit in the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matunit.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matunit.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matunit.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem matunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		matunit.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		crngring 19034	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ad2antrr 713	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
8		matunit.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9		matunit.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		matunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11	8, 9, 10, 1	mdetcl 20912	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
13	8, 9, 10, 1	mdetf 20911	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
15	9, 10	matrcl 20728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	ad2antlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ Fin)
18	9	matring 20759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	17, 7, 18	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Ring)
20		matunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
21		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
22	20, 21, 10	ringinvcl 19152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
23	19, 22	sylancom 579	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
24	14, 23	ffvelrnd 6679	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
26		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
27	20, 21, 25, 26	unitrinv 19154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
28	19, 27	sylancom 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
29	28	fveq2d 6505	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
30		simpll 754	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
31		simplr 756	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝐵)
32	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 20939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
33	30, 31, 23, 32	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
34	8, 9, 26, 3	mdet1 20917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
35	30, 17, 34	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
36	29, 33, 35	3eqtr3d 2822	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (1r‘𝑅))
37	20, 21, 25, 26	unitlinv 19153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
38	19, 37	sylancom 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
39	38	fveq2d 6505	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
40	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 20939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
41	30, 23, 31, 40	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
42	39, 41, 35	3eqtr3d 2822	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
43	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 24, 36, 42	invrvald 20992	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀)) = (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
44	43	simpld 487	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
45		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 maAdju 𝑅) = (𝑁 maAdju 𝑅)
46		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
47	9, 45, 8, 10, 20, 4, 5, 21, 46	matinv 20993	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) = (((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝐴)((𝑁 maAdju 𝑅)‘𝑀))))
48	47	simpld 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
49	48	3expa 1098	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
50	44, 49	impbida 788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  Basecbs 16342  ._rcmulr 16425   ·_𝑠 cvsca 16428  1_rcur 18977  Ringcrg 19023  CRingccrg 19024  Unitcui 19115  inv_rcinvr 19147   Mat cmat 20723   maDet cmdat 20900   maAdju cmadu 20948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-addf 10416  ax-mulf 10417

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-ot 4451  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-word 13676  df-lsw 13729  df-concat 13737  df-s1 13762  df-substr 13807  df-pfx 13856  df-splice 13963  df-reverse 13981  df-s2 14075  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-gim 18173  df-cntz 18221  df-oppg 18248  df-symg 18270  df-pmtr 18334  df-psgn 18383  df-evpm 18384  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-srg 18982  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-rnghom 19193  df-drng 19230  df-subrg 19259  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-assa 19809  df-cnfld 20251  df-zring 20323  df-zrh 20356  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-mamu 20700  df-mat 20724  df-mdet 20901  df-madu 20950

This theorem is referenced by:  slesolinv  20996  slesolinvbi  20997  slesolex  20998  matunitlindf  34331