Theorem matunit 22594

Description: A matrix is a unit in the ring of matrices iff its determinant is a unit in the underlying ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matunit.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matunit.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
matunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
matunit.v	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matunit	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Proof of Theorem matunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4		matunit.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑅)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
6		crngring 20164	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
8		matunit.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
9		matunit.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
10		matunit.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
11	8, 9, 10, 1	mdetcl 22512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
13	8, 9, 10, 1	mdetf 22511	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
14	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
15	9, 10	matrcl 22328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
16	15	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑁 ∈ Fin)
18	9	matring 22359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	17, 7, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ Ring)
20		matunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝐴)
21		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘𝐴) = (invr‘𝐴)
22	20, 21, 10	ringinvcl 20311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
23	19, 22	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵)
24	14, 23	ffvelcdmd 7018	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
25		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
26		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
27	20, 21, 25, 26	unitrinv 20313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
28	19, 27	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀)) = (1r‘𝐴))
29	28	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
30		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ CRing)
31		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ 𝐵)
32	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
33	30, 31, 23, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(𝑀(.r‘𝐴)((invr‘𝐴)‘𝑀))) = ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
34	8, 9, 26, 3	mdet1 22517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
35	30, 17, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
36	29, 33, 35	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀)(.r‘𝑅)(𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))) = (1r‘𝑅))
37	20, 21, 25, 26	unitlinv 20312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
38	19, 37	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀) = (1r‘𝐴))
39	38	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = (𝐷‘(1r‘𝐴)))
40	9, 10, 8, 2, 25	mdetmul 22539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
41	30, 23, 31, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘(((invr‘𝐴)‘𝑀)(.r‘𝐴)𝑀)) = ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)))
42	39, 41, 35	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))(.r‘𝑅)(𝐷‘𝑀)) = (1r‘𝑅))
43	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 24, 36, 42	invrvald 22592	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → ((𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀)) = (𝐷‘((invr‘𝐴)‘𝑀))))
44	43	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑀 ∈ 𝑈) → (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉)
45		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑁 maAdju 𝑅) = (𝑁 maAdju 𝑅)
46		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
47	9, 45, 8, 10, 20, 4, 5, 21, 46	matinv 22593	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑈 ∧ ((invr‘𝐴)‘𝑀) = (((invr‘𝑅)‘(𝐷‘𝑀))( ·𝑠 ‘𝐴)((𝑁 maAdju 𝑅)‘𝑀))))
48	47	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
49	48	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ 𝑈)
50	44, 49	impbida 800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ 𝑈 ↔ (𝐷‘𝑀) ∈ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162   ·_𝑠 cvsca 17165  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  CRingccrg 20153  Unitcui 20274  inv_rcinvr 20306   Mat cmat 22323   maDet cmdat 22500   maAdju cmadu 22548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-reverse 14666  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-efmnd 18777  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-gim 19172  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-symg 19283  df-pmtr 19355  df-psgn 19404  df-evpm 19405  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-srg 20106  df-ring 20154  df-cring 20155  df-oppr 20256  df-dvdsr 20276  df-unit 20277  df-invr 20307  df-dvr 20320  df-rhm 20391  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-cnfld 21293  df-zring 21385  df-zrh 21441  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-assa 21791  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-mdet 22501  df-madu 22550

This theorem is referenced by:  slesolinv  22596  slesolinvbi  22597  slesolex  22598  matunitlindf  37664