Theorem slesolinv 21737

Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
slesolinv	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Proof of Theorem slesolinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slesolex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		slesolex.x	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
4		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		slesolex.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	1, 7	matrcl 21469	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑁 ∈ Fin)
12	4	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
13	12	anim1i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
14	13	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
16	15	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
17		slesolex.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
18	1, 7, 17, 3	slesolvec 21736	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
19	14, 16, 18	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
21		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
22	5, 10	anim12ci 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23	22	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
24	1	matring 21500	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝐴 ∈ Ring)
26		slesolex.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
28		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
29	1, 26, 7, 27, 28	matunit 21735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
30	29	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
31	30	ad2ant2lr 744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
32	31	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
33	32	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
34	33	3impia 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35		slesolinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
37	27, 35, 36	ringinvcl 19833	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
38	25, 34, 37	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
39	7	eleq2i 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
40	39	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 42	mavmulass 21606	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)))
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
45	44, 10	anim12ci 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46	45	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
47	1, 21	matmulr 21495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
49	48	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋))
50		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
51		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
52	27, 35, 50, 51	unitlinv 19834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
53	25, 34, 52	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
54	49, 53	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = (1r‘𝐴))
55	54	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((1r‘𝐴) · 𝑍))
56	1, 2, 3, 6, 11, 20	1mavmul 21605	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((1r‘𝐴) · 𝑍) = 𝑍)
57	55, 56	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = 𝑍)
58		oveq2 7263	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
59	58	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
60	59	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
61	43, 57, 60	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828   maMul cmmul 21442   Mat cmat 21464   maVecMul cmvmul 21597   maDet cmdat 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-evpm 19015  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-assa 20970  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-mvmul 21598  df-mdet 21642  df-madu 21691

This theorem is referenced by:  slesolinvbi  21738