MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesolinv 21289
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invr𝐴)
Assertion
Ref Expression
slesolinv (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌))

Proof of Theorem slesolinv
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 slesolex.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
4 crngring 19306 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
54adantl 485 . . . 4 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
653ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ Ring)
7 slesolex.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
81, 7matrcl 21021 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 498 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑁 ∈ Fin)
109adantr 484 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑁 ∈ Fin)
124anim2i 619 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312anim1i 617 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)))
14133adant3 1129 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)))
15 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
16153ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
17 slesolex.v . . . . . 6 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
181, 7, 17, 3slesolvec 21288 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌𝑍𝑉))
1914, 16, 18sylc 65 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍𝑉)
2019, 17eleqtrdi 2903 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
21 eqid 2801 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
225, 10anim12ci 616 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23223adant3 1129 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
241matring 21052 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝐴 ∈ Ring)
26 slesolex.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
28 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
291, 26, 7, 27, 28matunit 21287 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
3029bicomd 226 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
3130ad2ant2lr 747 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
3231biimpd 232 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
3332adantrd 495 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
34333impia 1114 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35 slesolinv.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝐴)
36 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
3727, 35, 36ringinvcl 19426 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
3825, 34, 37syl2anc 587 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
397eleq2i 2884 . . . . . 6 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4039biimpi 219 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
4140adantr 484 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42413ad2ant2 1131 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
431, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 42mavmulass 21158 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((𝐼𝑋) · (𝑋 · 𝑍)))
44 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
4544, 10anim12ci 616 . . . . . . . 8 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46453adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
471, 21matmulr 21047 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
4948oveqd 7156 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = ((𝐼𝑋)(.r𝐴)𝑋))
50 eqid 2801 . . . . . . 7 (.r𝐴) = (.r𝐴)
51 eqid 2801 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5227, 35, 50, 51unitlinv 19427 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → ((𝐼𝑋)(.r𝐴)𝑋) = (1r𝐴))
5325, 34, 52syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼𝑋)(.r𝐴)𝑋) = (1r𝐴))
5449, 53eqtrd 2836 . . . 4 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = (1r𝐴))
5554oveq1d 7154 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((1r𝐴) · 𝑍))
561, 2, 3, 6, 11, 201mavmul 21157 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((1r𝐴) · 𝑍) = 𝑍)
5755, 56eqtrd 2836 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = 𝑍)
58 oveq2 7147 . . . 4 ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → ((𝐼𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
5958adantl 485 . . 3 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐼𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
60593ad2ant3 1132 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
6143, 57, 603eqtr3d 2844 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼𝑋) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  c0 4246  cop 4534  cotp 4536  cfv 6328  (class class class)co 7139  m cmap 8393  Fincfn 8496  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  1rcur 19248  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  Unitcui 19389  invrcinvr 19421   maMul cmmul 20994   Mat cmat 21016   maVecMul cmvmul 21149   maDet cmdat 21193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-efmnd 18030  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-symg 18492  df-pmtr 18566  df-psgn 18615  df-evpm 18616  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-assa 20546  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-mvmul 21150  df-mdet 21194  df-madu 21243
This theorem is referenced by:  slesolinvbi  21290
  Copyright terms: Public domain W3C validator