MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem slesolinv 22402
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
slesolex.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
slesolex.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
slesolinv (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
Proof of Theorem slesolinv
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 slesolex.x . . 3 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
4 crngring 20139 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54adantl 480 . . . 4 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
653ad2ant1 1131 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 slesolex.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
81, 7matrcl 22132 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 493 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
109adantr 479 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1132 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
124anim2i 615 . . . . . . 7 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312anim1i 613 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
14133adant3 1130 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
15 simpr 483 . . . . . 6 (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
16153ad2ant3 1133 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
17 slesolex.v . . . . . 6 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
181, 7, 17, 3slesolvec 22401 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉))
1914, 16, 18sylc 65 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
2019, 17eleqtrdi 2841 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
21 eqid 2730 . . 3 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
225, 10anim12ci 612 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23223adant3 1130 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
241matring 22165 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
26 slesolex.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π΄) = (Unitβ€˜π΄)
28 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
291, 26, 7, 27, 28matunit 22400 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3029bicomd 222 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3130ad2ant2lr 744 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3231biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3332adantrd 490 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
34333impia 1115 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄))
35 slesolinv.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
36 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
3727, 35, 36ringinvcl 20283 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
3825, 34, 37syl2anc 582 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
397eleq2i 2823 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4039biimpi 215 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4140adantr 479 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
42413ad2ant2 1132 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
431, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 42mavmulass 22271 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)))
44 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4544, 10anim12ci 612 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46453adant3 1130 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
471, 21matmulr 22160 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
4948oveqd 7428 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) = ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋))
50 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
51 eqid 2730 . . . . . . 7 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
5227, 35, 50, 51unitlinv 20284 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5325, 34, 52syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5449, 53eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5554oveq1d 7426 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑍))
561, 2, 3, 6, 11, 201mavmul 22270 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑍) = 𝑍)
5755, 56eqtrd 2770 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = 𝑍)
58 oveq2 7419 . . . 4 ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
5958adantl 480 . . 3 (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
60593ad2ant3 1133 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
6143, 57, 603eqtr3d 2778 1 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  βŸ¨cotp 4635  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  Unitcui 20246  invrcinvr 20278   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127   maVecMul cmvmul 22262   maDet cmdat 22306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-efmnd 18786  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-symg 19276  df-pmtr 19351  df-psgn 19400  df-evpm 19401  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-assa 21627  df-mamu 22106  df-mat 22128  df-mvmul 22263  df-mdet 22307  df-madu 22356
This theorem is referenced by:  slesolinvbi  22403
  Copyright terms: Public domain W3C validator