Theorem slesolinv 22737

Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
slesolinv	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Proof of Theorem slesolinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slesolex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		slesolex.x	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
4		crngring 20291	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		slesolex.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	1, 7	matrcl 22469	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1147	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑁 ∈ Fin)
12	4	anim2i 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
13	12	anim1i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
14	13	3adant3 1145	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
15		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
16	15	3ad2ant3 1148	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
17		slesolex.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
18	1, 7, 17, 3	slesolvec 22736	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
19	14, 16, 18	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrdi 2872	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
21		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
22	5, 10	anim12ci 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23	22	3adant3 1145	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
24	1	matring 22500	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝐴 ∈ Ring)
26		slesolex.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
28		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
29	1, 26, 7, 27, 28	matunit 22735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
30	29	bicomd 225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
31	30	ad2ant2lr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
32	31	biimpd 231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
33	32	adantrd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
34	33	3impia 1130	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35		slesolinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
36		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
37	27, 35, 36	ringinvcl 20437	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
38	25, 34, 37	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
39	7	eleq2i 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
40	39	birani 507	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	3ad2ant2 1147	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	1, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 41	mavmulass 22606	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)))
43		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
44	43, 10	anim12ci 623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
45	44	3adant3 1145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46	1, 21	matmulr 22495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
48	47	oveqd 7413	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋))
49		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
51	27, 35, 49, 50	unitlinv 20438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
52	25, 34, 51	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
53	48, 52	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = (1r‘𝐴))
54	53	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((1r‘𝐴) · 𝑍))
55	1, 2, 3, 6, 11, 20	1mavmul 22605	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((1r‘𝐴) · 𝑍) = 𝑍)
56	54, 55	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = 𝑍)
57		oveq2 7404	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
58	57	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
59	58	3ad2ant3 1148	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
60	42, 56, 59	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  CRingccrg 20280  Unitcui 20400  inv_rcinvr 20432   maMul cmmul 22447   Mat cmat 22464   maVecMul cmvmul 22597   maDet cmdat 22641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-evpm 19532  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-srg 20233  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-rhm 20517  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-cnfld 21422  df-zring 21496  df-zrh 21552  df-dsmm 21781  df-frlm 21796  df-assa 21902  df-mamu 22448  df-mat 22465  df-mvmul 22598  df-mdet 22642  df-madu 22691

This theorem is referenced by:  slesolinvbi  22738