MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem slesolinv 22081
Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
slesolex.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
slesolex.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
slesolex.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
slesolinv (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
Proof of Theorem slesolinv
StepHypRef Expression
1 slesolex.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 slesolex.x . . 3 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
4 crngring 20005 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54adantl 482 . . . 4 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
653ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 slesolex.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
81, 7matrcl 21811 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 495 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑁 ∈ Fin)
109adantr 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
11103ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
124anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
14133adant3 1132 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)))
15 simpr 485 . . . . . 6 (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
16153ad2ant3 1135 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
17 slesolex.v . . . . . 6 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
181, 7, 17, 3slesolvec 22080 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉))
1914, 16, 18sylc 65 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
2019, 17eleqtrdi 2842 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
21 eqid 2731 . . 3 (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)
225, 10anim12ci 614 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23223adant3 1132 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
241matring 21844 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
26 slesolex.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π΄) = (Unitβ€˜π΄)
28 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
291, 26, 7, 27, 28matunit 22079 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄) ↔ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3029bicomd 222 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3130ad2ant2lr 746 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3231biimpd 228 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
3332adantrd 492 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)))
34333impia 1117 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄))
35 slesolinv.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π΄)
36 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
3727, 35, 36ringinvcl 20134 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
3825, 34, 37syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π΄))
397eleq2i 2824 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4039biimpi 215 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
4140adantr 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
42413ad2ant2 1134 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π΄))
431, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 42mavmulass 21950 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)))
44 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4544, 10anim12ci 614 . . . . . . . 8 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46453adant3 1132 . . . . . . 7 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
471, 21matmulr 21839 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©) = (.rβ€˜π΄))
4948oveqd 7394 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) = ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋))
50 eqid 2731 . . . . . . 7 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
51 eqid 2731 . . . . . . 7 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
5227, 35, 50, 51unitlinv 20135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π΄)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5325, 34, 52syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π΄)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5449, 53eqtrd 2771 . . . 4 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) = (1rβ€˜π΄))
5554oveq1d 7392 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑍))
561, 2, 3, 6, 11, 201mavmul 21949 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝑍) = 𝑍)
5755, 56eqtrd 2771 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ (((πΌβ€˜π‘‹)(𝑅 maMul βŸ¨π‘, 𝑁, π‘βŸ©)𝑋) Β· 𝑍) = 𝑍)
58 oveq2 7385 . . . 4 ((𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
5958adantl 482 . . 3 (((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
60593ad2ant3 1135 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
6143, 57, 603eqtr3d 2779 1 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)) β†’ 𝑍 = ((πΌβ€˜π‘‹) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3459  βˆ…c0 4302  βŸ¨cop 4612  βŸ¨cotp 4614  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  Fincfn 8905  Basecbs 17109  .rcmulr 17163  1rcur 19942  Ringcrg 19993  CRingccrg 19994  Unitcui 20097  invrcinvr 20129   maMul cmmul 21784   Mat cmat 21806   maVecMul cmvmul 21941   maDet cmdat 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-tpos 8177  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-sup 9402  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-rp 12940  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-word 14430  df-lsw 14478  df-concat 14486  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-splice 14665  df-reverse 14674  df-s2 14764  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-submnd 18631  df-efmnd 18708  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-mulg 18902  df-subg 18954  df-ghm 19035  df-gim 19078  df-cntz 19126  df-oppg 19153  df-symg 19178  df-pmtr 19253  df-psgn 19302  df-evpm 19303  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-srg 19947  df-ring 19995  df-cring 19996  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-rnghom 20177  df-drng 20242  df-subrg 20283  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-sra 20707  df-rgmod 20708  df-cnfld 20849  df-zring 20922  df-zrh 20956  df-dsmm 21190  df-frlm 21205  df-assa 21311  df-mamu 21785  df-mat 21807  df-mvmul 21942  df-mdet 21986  df-madu 22035
This theorem is referenced by:  slesolinvbi  22082
  Copyright terms: Public domain W3C validator