Theorem slesolinv 22565

Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 10-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
slesolex.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
slesolex.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
slesolex.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
slesolex.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
slesolex.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
slesolinv.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
slesolinv	⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Proof of Theorem slesolinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		slesolex.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		slesolex.x	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
4		crngring 20130	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ Ring)
7		slesolex.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
8	1, 7	matrcl 22297	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑁 ∈ Fin)
12	4	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring))
13	12	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
14	13	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
17		slesolex.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
18	1, 7, 17, 3	slesolvec 22564	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → 𝑍 ∈ 𝑉))
19	14, 16, 18	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	19, 17	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
21		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
22	5, 10	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
23	22	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
24	1	matring 22328	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
25	23, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝐴 ∈ Ring)
26		slesolex.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝐴) = (Unit‘𝐴)
28		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
29	1, 26, 7, 27, 28	matunit 22563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Unit‘𝐴) ↔ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
30	29	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
31	30	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
32	31	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
33	32	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)))
34	33	3impia 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴))
35		slesolinv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐴)
36		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
37	27, 35, 36	ringinvcl 20277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
38	25, 34, 37	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐴))
39	7	eleq2i 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
40	39	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
42	41	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
43	1, 2, 3, 6, 11, 20, 21, 38, 42	mavmulass 22434	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)))
44		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
45	44, 10	anim12ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
46	45	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
47	1, 21	matmulr 22323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
49	48	oveqd 7366	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋))
50		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
51		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
52	27, 35, 50, 51	unitlinv 20278	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝐴)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
53	25, 34, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(.r‘𝐴)𝑋) = (1r‘𝐴))
54	49, 53	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) = (1r‘𝐴))
55	54	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = ((1r‘𝐴) · 𝑍))
56	1, 2, 3, 6, 11, 20	1mavmul 22433	. . 3 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((1r‘𝐴) · 𝑍) = 𝑍)
57	55, 56	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (((𝐼‘𝑋)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑋) · 𝑍) = 𝑍)
58		oveq2 7357	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
59	58	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
60	59	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝐼‘𝑋) · (𝑋 · 𝑍)) = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))
61	43, 57, 60	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = ((𝐼‘𝑋) · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436  ∅c0 4284  ⟨cop 4583  ⟨cotp 4585  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  Unitcui 20240  inv_rcinvr 20272   maMul cmmul 22275   Mat cmat 22292   maVecMul cmvmul 22425   maDet cmdat 22469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-splice 14656  df-reverse 14665  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-efmnd 18743  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-cntz 19196  df-oppg 19225  df-symg 19249  df-pmtr 19321  df-psgn 19370  df-evpm 19371  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-assa 21760  df-mamu 22276  df-mat 22293  df-mvmul 22426  df-mdet 22470  df-madu 22519

This theorem is referenced by:  slesolinvbi  22566