Theorem sltsubaddd 28035

Description: Surreal less-than relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
sltsubaddd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s 𝐶 ↔ 𝐴 <s (𝐶 +s 𝐵)))

Proof of Theorem sltsubaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubadd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		sltsubadd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	subscld 28009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4		sltsubadd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	3, 4, 2	sltadd1d 27947	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s 𝐶 ↔ ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵)))
6		npcans 28021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) = 𝐴)
8	7	breq1d 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 -s 𝐵) +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵) ↔ 𝐴 <s (𝐶 +s 𝐵)))
9	5, 8	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐵) <s 𝐶 ↔ 𝐴 <s (𝐶 +s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370   No csur 27586   <s cslt 27587   +_s cadds 27908   -_s csubs 27968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-1o 8412  df-2o 8413  df-nadd 8608  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27692  df-sslt 27729  df-scut 27731  df-0s 27775  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27887  df-norec2 27898  df-adds 27909  df-negs 27969  df-subs 27970

This theorem is referenced by:  sltsubadd2d  28036  sltm1d  28047  ssltmul2  28093  precsexlem11  28161