Theorem slesubsub3bd 28021

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
slesubsub3bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem slesubsub3bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	sltsubsubbd 28016	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
7	2, 4	subscld 27996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
8	1, 3	subscld 27996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
9		slenlt 27684	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
11	3, 4	subscld 27996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
12	1, 2	subscld 27996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
13		slenlt 27684	. . 3 ⊢ (((𝐷 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐴) ∈ No ) → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341   No csur 27571   <s cslt 27572   ≤s csle 27676   -_s csubs 27955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-1o 8380  df-2o 8381  df-nadd 8576  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sle 27677  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761  df-made 27781  df-old 27782  df-left 27784  df-right 27785  df-norec 27874  df-norec2 27885  df-adds 27896  df-negs 27956  df-subs 27957

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28081