MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesubsub3bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slesubsub3bd 27912
Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sltsubsubbd.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
sltsubsubbd.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
sltsubsubbd.3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
sltsubsubbd.4 (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
Assertion
Ref Expression
slesubsub3bd (𝜑 → ((ðī -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s ðī)))

Proof of Theorem slesubsub3bd
StepHypRef Expression
1 sltsubsubbd.2 . . . 4 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
2 sltsubsubbd.1 . . . 4 (𝜑 → ðī ∈ No )
3 sltsubsubbd.4 . . . 4 (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4 sltsubsubbd.3 . . . 4 (𝜑 → ðķ ∈ No )
51, 2, 3, 4sltsubsubbd 27907 . . 3 (𝜑 → ((ðĩ -s 𝐷) <s (ðī -s ðķ) ↔ (ðĩ -s ðī) <s (𝐷 -s ðķ)))
65notbid 318 . 2 (𝜑 → (ÂŽ (ðĩ -s 𝐷) <s (ðī -s ðķ) ↔ ÂŽ (ðĩ -s ðī) <s (𝐷 -s ðķ)))
72, 4subscld 27889 . . 3 (𝜑 → (ðī -s ðķ) ∈ No )
81, 3subscld 27889 . . 3 (𝜑 → (ðĩ -s 𝐷) ∈ No )
9 slenlt 27601 . . 3 (((ðī -s ðķ) ∈ No ∧ (ðĩ -s 𝐷) ∈ No ) → ((ðī -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s 𝐷) ↔ ÂŽ (ðĩ -s 𝐷) <s (ðī -s ðķ)))
107, 8, 9syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((ðī -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s 𝐷) ↔ ÂŽ (ðĩ -s 𝐷) <s (ðī -s ðķ)))
113, 4subscld 27889 . . 3 (𝜑 → (𝐷 -s ðķ) ∈ No )
121, 2subscld 27889 . . 3 (𝜑 → (ðĩ -s ðī) ∈ No )
13 slenlt 27601 . . 3 (((𝐷 -s ðķ) ∈ No ∧ (ðĩ -s ðī) ∈ No ) → ((𝐷 -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s ðī) ↔ ÂŽ (ðĩ -s ðī) <s (𝐷 -s ðķ)))
1411, 12, 13syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐷 -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s ðī) ↔ ÂŽ (ðĩ -s ðī) <s (𝐷 -s ðķ)))
156, 10, 143bitr4d 311 1 (𝜑 → ((ðī -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s ðķ) â‰Īs (ðĩ -s ðī)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ÂŽ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   No csur 27489   <s cslt 27490   â‰Īs csle 27593   -s csubs 27849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8661  df-no 27492  df-slt 27493  df-bday 27494  df-sle 27594  df-sslt 27630  df-scut 27632  df-0s 27673  df-made 27690  df-old 27691  df-left 27693  df-right 27694  df-norec 27771  df-norec2 27782  df-adds 27793  df-negs 27850  df-subs 27851
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27965
  Copyright terms: Public domain W3C validator