Theorem slesubsub3bd 27469

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
slesubsub3bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem slesubsub3bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	sltsubsubbd 27464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
6	5	notbid 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
7	2, 4	subscld 27449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
8	1, 3	subscld 27449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
9		slenlt 27182	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
11	3, 4	subscld 27449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
12	1, 2	subscld 27449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
13		slenlt 27182	. . 3 ⊢ (((𝐷 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐴) ∈ No ) → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393   No csur 27070   <s cslt 27071   ≤s csle 27174   -_s csubs 27411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-ot 4631  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-1o 8448  df-2o 8449  df-nadd 8648  df-no 27073  df-slt 27074  df-bday 27075  df-sle 27175  df-sslt 27209  df-scut 27211  df-0s 27251  df-made 27265  df-old 27266  df-left 27268  df-right 27269  df-norec 27338  df-norec2 27349  df-adds 27360  df-negs 27412  df-subs 27413

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27516