Theorem slesubsub3bd 28118

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsubsubbd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
sltsubsubbd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
sltsubsubbd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltsubsubbd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
slesubsub3bd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem slesubsub3bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		sltsubsubbd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		sltsubsubbd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
4		sltsubsubbd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	1, 2, 3, 4	sltsubsubbd 28113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
6	5	notbid 318	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
7	2, 4	subscld 28093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐶) ∈ No )
8	1, 3	subscld 28093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐷) ∈ No )
9		slenlt 27797	. . 3 ⊢ (((𝐴 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐷) ∈ No ) → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐷) <s (𝐴 -s 𝐶)))
11	3, 4	subscld 28093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 -s 𝐶) ∈ No )
12	1, 2	subscld 28093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
13		slenlt 27797	. . 3 ⊢ (((𝐷 -s 𝐶) ∈ No ∧ (𝐵 -s 𝐴) ∈ No ) → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ ¬ (𝐵 -s 𝐴) <s (𝐷 -s 𝐶)))
15	6, 10, 14	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐷) ↔ (𝐷 -s 𝐶) ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431   No csur 27684   <s cslt 27685   ≤s csle 27789   -_s csubs 28052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28175