Theorem sn-suprcld 42451

Description: suprcld 12260 without ax-mulcom 11250, proven trivially from sn-sup3d 42450. (Contributed by SN, 29-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-sup3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
sn-sup3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
sn-sup3d.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
sn-suprcld	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sn-suprcld

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11372	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
3		sn-sup3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		sn-sup3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		sn-sup3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
6	3, 4, 5	sn-sup3d 42450	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
7	2, 6	supcl 9529	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   Or wor 5606  supcsup 9511  ℝcr 11185   < clt 11326   ≤ cle 11327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-2 12358  df-3 12359  df-resub 42344

This theorem is referenced by:  sn-suprubd  42452