Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-suprcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-suprcld 42383
Description: suprcld 12254 without ax-mulcom 11244, proven trivially from sn-sup3d 42382. (Contributed by SN, 29-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-sup3d.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
sn-sup3d.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
sn-sup3d.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
sn-suprcld (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sn-suprcld
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11366 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → < Or ℝ)
3 sn-sup3d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 sn-sup3d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
5 sn-sup3d.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
63, 4, 5sn-sup3d 42382 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
72, 6supcl 9523 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  wss 3970  c0 4347   class class class wbr 5169   Or wor 5610  supcsup 9505  cr 11179   < clt 11320  cle 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-2 12352  df-3 12353  df-resub 42276
This theorem is referenced by:  sn-suprubd  42384
  Copyright terms: Public domain W3C validator