Theorem suprcld 12175

Description: Natural deduction form of suprcl 12172. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprcld.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
suprcld	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12172	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  supcsup 9432  ℝcr 11106   < clt 11246   ≤ cle 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  supaddc  12179  supadd  12180  flval3  13778  supcvg  15800  ruclem12  16183  prmreclem6  16855  icccmplem2  24663  icccmplem3  24664  reconnlem2  24667  ivthlem2  25305  ivthlem3  25306  ioombl1lem4  25414  mbfsup  25517  mbflimsup  25519  itg2monolem1  25604  itg2mono  25607  itg2cnlem1  25615  c1liplem1  25853  imo72b2lem0  43431  imo72b2  43438  suprclrnmpt  44465