Theorem suprcld 12117

Description: Natural deduction form of suprcl 12114. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprcld.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
suprcld	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12114	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  supcsup 9350  ℝcr 11035   < clt 11177   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378

This theorem is referenced by:  supaddc  12121  supadd  12122  flval3  13772  supcvg  15819  ruclem12  16206  prmreclem6  16890  icccmplem2  24814  icccmplem3  24815  reconnlem2  24818  ivthlem2  25444  ivthlem3  25445  ioombl1lem4  25553  mbfsup  25656  mbflimsup  25658  itg2monolem1  25742  itg2mono  25745  itg2cnlem1  25753  c1liplem1  25988  imo72b2lem0  44616  imo72b2  44623  suprclrnmpt  45702