Theorem suprcld 12201

Description: Natural deduction form of suprcl 12198. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprcld.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
suprcld	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 12198	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3945  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  supcsup 9457  ℝcr 11131   < clt 11272   ≤ cle 11273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is referenced by:  supaddc  12205  supadd  12206  flval3  13806  supcvg  15828  ruclem12  16211  prmreclem6  16883  icccmplem2  24732  icccmplem3  24733  reconnlem2  24736  ivthlem2  25374  ivthlem3  25375  ioombl1lem4  25483  mbfsup  25586  mbflimsup  25588  itg2monolem1  25673  itg2mono  25676  itg2cnlem1  25684  c1liplem1  25922  imo72b2lem0  43589  imo72b2  43596  suprclrnmpt  44621