Theorem sn-suprubd 43384

Description: suprubd 12204 without ax-mulcom 11191, proven trivially from sn-suprcld 43383. (Contributed by SN, 29-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-sup3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
sn-sup3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
sn-sup3d.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
sn-suprubd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sn-suprubd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sn-suprubd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-sup3d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		sn-suprubd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		sn-sup3d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		sn-sup3d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
6	1, 4, 5	sn-suprcld 43383	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		ltso 11317	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
9	1, 4, 5	sn-sup3d 43382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
10	8, 9	supub 9432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵))
11	2, 10	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ sup(𝐴, ℝ, < ) < 𝐵)
12	3, 6, 11	nltled 11387	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   Or wor 5566  supcsup 9413  ℝcr 11126   < clt 11270   ≤ cle 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-2 12330  df-3 12331  df-resub 43243

This theorem is used by: (None)