Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-sup3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-sup3d 42479
Description: sup3 12223 without ax-mulcom 11217, proven trivially from sn-sup2 42478. (Contributed by SN, 29-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-sup3d.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
sn-sup3d.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
sn-sup3d.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
sn-sup3d (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sn-sup3d
StepHypRef Expression
1 sn-sup3d.1 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 sn-sup3d.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 sn-sup3d.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4 ssel 3989 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
5 leloe 11345 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
65expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))))
74, 6syl9 77 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))))
87imp31 417 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
98ralbidva 3174 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
109rexbidva 3175 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
111, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
123, 11mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
13 sn-sup2 42478 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
141, 2, 12, 13syl3anc 1370 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cr 11152   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-suprcld  42480  sn-suprubd  42481
  Copyright terms: Public domain W3C validator