Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-sup3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-sup3d 42502
Description: sup3 12225 without ax-mulcom 11219, proven trivially from sn-sup2 42501. (Contributed by SN, 29-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-sup3d.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
sn-sup3d.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
sn-sup3d.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
sn-sup3d (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sn-sup3d
StepHypRef Expression
1 sn-sup3d.1 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 sn-sup3d.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 sn-sup3d.3 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4 ssel 3977 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
5 leloe 11347 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
65expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))))
74, 6syl9 77 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))))
87imp31 417 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
98ralbidva 3176 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
109rexbidva 3177 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
111, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)))
123, 11mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥))
13 sn-sup2 42501 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
141, 2, 12, 13syl3anc 1373 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cr 11154   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  sn-suprcld  42503  sn-suprubd  42504
  Copyright terms: Public domain W3C validator