Theorem negscut2 27970

Description: The cut that defines surreal negation is legitimate. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
negscut2	⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)))

Proof of Theorem negscut2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscut 27969	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -us ‘𝐴) ∈ No ∧ ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)} ∧ {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴))))
2	1	simp2d 1140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)})
3	1	simp3d 1141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)))
4		fvex 6905	. . . 4 ⊢ ( -us ‘𝐴) ∈ V
5	4	snnz 4776	. . 3 ⊢ {( -us ‘𝐴)} ≠ ∅
6		sslttr 27758	. . 3 ⊢ ((( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)} ∧ {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)) ∧ {( -us ‘𝐴)} ≠ ∅) → ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)))
7	5, 6	mp3an3 1446	. 2 ⊢ ((( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s {( -us ‘𝐴)} ∧ {( -us ‘𝐴)} <<s ( -us “ ( L ‘𝐴))) → ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)))
8	2, 3, 7	syl2anc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us “ ( R ‘𝐴)) <<s ( -us “ ( L ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∅c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5143   “ cima 5675  ‘cfv 6543   No csur 27591   <<s csslt 27731   L cleft 27790   R cright 27791   -u_s cnegs 27950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-0s 27775  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27873  df-negs 27952

This theorem is referenced by:  negsid  27971  negsunif  27985  negsbdaylem  27986