Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mulscut.1 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ด โ No
) |
2 | | mulscut.2 |
. . . . 5
โข (๐ โ ๐ต โ No
) |
3 | 1, 2 | mulscut 27947 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ต) โ No
โง ({๐ โฃ
โ๐ โ ( L
โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |
4 | | 3anass 1092 |
. . . 4
โข (((๐ด ยทs ๐ต) โ
No โง ({๐
โฃ โ๐ โ ( L
โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) โ ((๐ด ยทs ๐ต) โ No
โง (({๐ โฃ
โ๐ โ ( L
โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})))) |
5 | 3, 4 | sylib 217 |
. . 3
โข (๐ โ ((๐ด ยทs ๐ต) โ No
โง (({๐ โฃ
โ๐ โ ( L
โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})))) |
6 | 5 | simprd 495 |
. 2
โข (๐ โ (({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}))) |
7 | | ovex 7434 |
. . . 4
โข (๐ด ยทs ๐ต) โ V |
8 | 7 | snnz 4772 |
. . 3
โข {(๐ด ยทs ๐ต)} โ โ
|
9 | | sslttr 27655 |
. . 3
โข ((({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))}) โง {(๐ด ยทs ๐ต)} โ โ
) โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) |
10 | 8, 9 | mp3an3 1446 |
. 2
โข ((({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s {(๐ด ยทs ๐ต)} โง {(๐ด ยทs ๐ต)} <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) |
11 | 6, 10 | syl 17 |
1
โข (๐ โ ({๐ โฃ โ๐ โ ( L โ๐ด)โ๐ โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐)) -s (๐ ยทs ๐))} โช {๐ โฃ โ๐ โ ( R โ๐ด)โ๐ โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ )) -s (๐ ยทs ๐ ))}) <<s ({๐ โฃ โ๐ก โ ( L โ๐ด)โ๐ข โ ( R โ๐ต)๐ = (((๐ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ข)) -s (๐ก ยทs ๐ข))} โช {๐ โฃ โ๐ฃ โ ( R โ๐ด)โ๐ค โ ( L โ๐ต)๐ = (((๐ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐ค)) -s (๐ฃ ยทs ๐ค))})) |