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Theorem modfzo0difsn 13908
Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modfzo0difsn ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁
Proof of Theorem modfzo0difsn
StepHypRef Expression
1 eldifi 4127 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2 elfzoelz 13632 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
32zred 12666 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
5 elfzoelz 13632 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
65zred 12666 . . . . 5 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
7 leloe 11300 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 ≀ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
84, 6, 7syl2anr 598 . . . 4 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 ≀ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
9 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁))
10 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁))
11 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
14 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 ∈ β„•0 β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
15143ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
17 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
18173ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2013, 16, 19subadd23d 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) = (𝐾 + (𝑁 βˆ’ 𝐽)))
21 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
22 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 ∈ β„•0 β†’ 𝐽 ∈ β„€)
23 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
24 znnsub 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•))
2522, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•))
2625biimp3a 1470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•)
27 nn0nnaddcl 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•) β†’ (𝐾 + (𝑁 βˆ’ 𝐽)) ∈ β„•)
2821, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ (𝐾 + (𝑁 βˆ’ 𝐽)) ∈ β„•)
2920, 28eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ β„•)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ β„•)
31 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
34 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
37 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 ∈ β„•0 β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
38373ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
4036, 39sublt0d 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) < 0 ↔ 𝐾 < 𝐽))
4140bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ (𝐾 < 𝐽 ↔ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 0))
4241biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 0)
43 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ)
4435, 38, 43syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ)
45 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4844, 47jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
50 ltaddnegr 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
5242, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) < 𝑁)
53 elfzo1 13682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ (((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
5430, 33, 52, 53syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
5554exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
5610, 55sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
58573adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
599, 58sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
601, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
6160impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁)))
6261impcom 409 . . . . . . . 8 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
63 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) β†’ (𝑖 + 𝐽) = (((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) + 𝐽))
642zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
6614adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
6817adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
6968adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
7065, 67, 693jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•)) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
7170ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚)))
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚)))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚)))
74733adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚)))
7510, 74sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚)))
7675imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚))
78 nppcan 11482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„‚) β†’ (((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ (((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
8063, 79sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁)) β†’ (𝑖 + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
8180oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁)) β†’ ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
8281eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝑁)) β†’ (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁)))
839biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁))
8483a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁)))
851, 84syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁)))
8685impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁))
8786adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁))
88 addmodidr 13885 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁) = 𝐾)
8988eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
9087, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
9162, 82, 90rspcedvd 3615 . . . . . . 7 ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
9291ex 414 . . . . . 6 (𝐾 < 𝐽 β†’ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
93 eldifsn 4791 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 β‰  𝐽))
94 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 𝐽 β†’ (𝐾 β‰  𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
9594com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐾 β‰  𝐽 β†’ (𝐾 = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
9695adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 β‰  𝐽) β†’ (𝐾 = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
9793, 96sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐾 = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
9897adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 = 𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
9998com12 32 . . . . . 6 (𝐾 = 𝐽 β†’ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
10092, 99jaoi 856 . . . . 5 ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) β†’ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
101100com12 32 . . . 4 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
1028, 101sylbid 239 . . 3 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 ≀ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
103102com12 32 . 2 (𝐾 ≀ 𝐽 β†’ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
104 ltnle 11293 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (𝐽 < 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽))
1056, 4, 104syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐽 < 𝐾 ↔ Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽))
106105bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ↔ 𝐽 < 𝐾))
107223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
108 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
110 znnsub 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•))
111107, 109, 110syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•))
112111biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„•)
11331adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
114113adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
115 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝐽)
1161153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ 0 ≀ 𝐽)
117116adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝐽)
118 subge02 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝐽 ↔ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ≀ 𝐾))
11934, 38, 118syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (0 ≀ 𝐽 ↔ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ≀ 𝐾))
120117, 119mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ≀ 𝐾)
12138adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
12234adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
12346adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
124121, 122, 1233jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
12543ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ)
1261253adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ)
127 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
128 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
129126, 127, 1283jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
130124, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
131 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (((𝐾 βˆ’ 𝐽) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (((𝐾 βˆ’ 𝐽) ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
133120, 132mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (𝐾 < 𝑁 β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
134133impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
135134imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁)
136135adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁)
137112, 114, 1363jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
138137exp31 421 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
1391383adant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 < 𝑁) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
1409, 139sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
1411, 140syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
142141com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 < 𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
14310, 142sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))))
144143imp 408 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐽 < 𝐾 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁)))
145106, 144sylbid 239 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁)))
146145impcom 409 . . . . 5 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
147 elfzo1 13682 . . . . 5 ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ (𝐾 βˆ’ 𝐽) < 𝑁))
148146, 147sylibr 233 . . . 4 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝐽) ∈ (1..^𝑁))
149 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐾 βˆ’ 𝐽) β†’ (𝑖 + 𝐽) = ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝐽))
1501, 64syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
1515zcnd 12667 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
152 npcan 11469 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
153150, 151, 152syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
154153adantl 483 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ ((𝐾 βˆ’ 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
155149, 154sylan9eqr 2795 . . . . . 6 (((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 βˆ’ 𝐽)) β†’ (𝑖 + 𝐽) = 𝐾)
156155oveq1d 7424 . . . . 5 (((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 βˆ’ 𝐽)) β†’ ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
157156eqeq2d 2744 . . . 4 (((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 βˆ’ 𝐽)) β†’ (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁)))
158 zmodidfzoimp 13866 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
1591, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}) β†’ (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
160159adantl 483 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
161160adantl 483 . . . . 5 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
162161eqcomd 2739 . . . 4 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁))
163148, 157, 162rspcedvd 3615 . . 3 ((Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽}))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
164163ex 414 . 2 (Β¬ 𝐾 ≀ 𝐽 β†’ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
165103, 164pm2.61i 182 1 ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) βˆ– {𝐽})) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14780
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