Theorem modfzo0difsn 13903

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modfzo0difsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem modfzo0difsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4068	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2		elfzoelz 13611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	zred 12631	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13611	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
6	5	zred 12631	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
7		leloe 11230	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
8	4, 6, 7	syl2anr 603	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
9		elfzo0 13653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
10		elfzo0 13653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
11		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
14		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
17		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20	13, 16, 19	subadd23d 11525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)))
21		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		nn0z 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℤ)
23		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
24		znnsub 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
25	22, 23, 24	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
26	25	biimp3a 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ)
27		nn0nnaddcl 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
28	21, 26, 27	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
29	20, 28	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
31		simp2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
37		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
40	36, 39	sublt0d 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ 𝐾 < 𝐽))
41	40	bicomd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) < 0))
42	41	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → (𝐾 − 𝐽) < 0)
43		resubcl 11456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
44	35, 38, 43	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
45		nnre 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48	44, 47	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
50		ltaddnegr 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
52	42, 51	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁)
53		elfzo1 13665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
54	30, 33, 52, 53	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
55	54	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
56	10, 55	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
58	57	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
59	9, 58	sylbi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
60	1, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
61	60	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁)))
62	61	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
63		oveq1 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) → (𝑖 + 𝐽) = (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽))
64	2	zcnd 12632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
66	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℂ)
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
68	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
70	65, 67, 69	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
71	70	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
72	1, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
74	73	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
75	10, 74	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
76	75	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
78		nppcan 11414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
80	63, 79	sylan9eqr 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝑖 + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
81	80	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
82	81	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁)))
83	9	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
84	83	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
85	1, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
86	85	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
87	86	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
88		addmodidr 13880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁) = 𝐾)
89	88	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
91	62, 82, 90	rspcedvd 3569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
92	91	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
93		eldifsn 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽))
94		eqneqall 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐾 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
95	94	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ 𝐽 → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
96	95	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
97	93, 96	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
98	97	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
99	98	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
100	92, 99	jaoi 863	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
101	100	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
102	8, 101	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
103	102	com12 32	. 2 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
104		ltnle 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
105	6, 4, 104	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
106	105	bicomd 224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ↔ 𝐽 < 𝐾))
107	22	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
108		nn0z 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
110		znnsub 12571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
111	107, 109, 110	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
112	111	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ)
113	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ)
115		nn0ge0 12460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
116	115	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
118		subge02 11664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
119	34, 38, 118	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
120	117, 119	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾)
121	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
122	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
123	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
124	121, 122, 123	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
125	43	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
126	125	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
127		simp2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
128		simp3 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
129	126, 127, 128	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
131		lelttr 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
133	120, 132	mpand 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
134	133	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
135	134	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
137	112, 114, 136	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
138	137	exp31 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
139	138	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
140	9, 139	sylbi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
141	1, 140	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
142	141	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
143	10, 142	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
144	143	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
145	106, 144	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
146	145	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
147		elfzo1 13665	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
148	146, 147	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁))
149		oveq1 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐾 − 𝐽) → (𝑖 + 𝐽) = ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽))
150	1, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℂ)
151	5	zcnd 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
152		npcan 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
153	150, 151, 152	syl2anr 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
154	153	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
155	149, 154	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝑖 + 𝐽) = 𝐾)
156	155	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
157	156	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁)))
158		zmodidfzoimp 13858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
159	1, 158	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
160	159	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
161	160	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
162	161	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁))
163	148, 157, 162	rspcedvd 3569	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
164	163	ex 413	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
165	103, 164	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887  {csn 4562   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ..^cfzo 13606   mod cmo 13826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14789