Theorem modfzo0difsn 13994

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modfzo0difsn	⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Proof of Theorem modfzo0difsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4154	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
2		elfzoelz 13716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	zred 12747	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13716	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
6	5	zred 12747	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
7		leloe 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
8	4, 6, 7	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽)))
9		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
10		elfzo0 13757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
11		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℂ)
14		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
17		nncn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20	13, 16, 19	subadd23d 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)))
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
22		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℤ)
23		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
24		znnsub 12689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
25	22, 23, 24	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ))
26	25	biimp3a 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ)
27		nn0nnaddcl 12584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℕ) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
28	21, 26, 27	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 + (𝑁 − 𝐽)) ∈ ℕ)
29	20, 28	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ)
31		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
37		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
40	36, 39	sublt0d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ 𝐾 < 𝐽))
41	40	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) < 0))
42	41	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → (𝐾 − 𝐽) < 0)
43		resubcl 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
44	35, 38, 43	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
45		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
48	44, 47	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
50		ltaddnegr 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) < 0 ↔ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
52	42, 51	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁)
53		elfzo1 13766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁) ↔ (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) < 𝑁))
54	30, 33, 52, 53	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁)) ∧ 𝐾 < 𝐽) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
55	54	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
56	10, 55	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
58	57	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
59	9, 58	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
60	1, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))))
61	60	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 < 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁)))
62	61	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) ∈ (1..^𝑁))
63		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) → (𝑖 + 𝐽) = (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽))
64	2	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
66	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℂ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
68	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
70	65, 67, 69	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
71	70	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
72	1, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
74	73	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
75	10, 74	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
76	75	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
77	76	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
78		nppcan 11558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (((𝐾 − 𝐽) + 𝑁) + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
80	63, 79	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝑖 + 𝐽) = (𝐾 + 𝑁))
81	80	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
82	81	eqeq2d 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = ((𝐾 − 𝐽) + 𝑁)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁)))
83	9	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
84	83	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
85	1, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
86	85	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
88		addmodidr 13971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁) = 𝐾)
89	88	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = ((𝐾 + 𝑁) mod 𝑁))
91	62, 82, 90	rspcedvd 3637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
92	91	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 < 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
93		eldifsn 4811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽))
94		eqneqall 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → (𝐾 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
95	94	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ 𝐽 → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 𝐽) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
97	93, 96	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
98	97	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 = 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
99	98	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
100	92, 99	jaoi 856	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
101	100	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 < 𝐽 ∨ 𝐾 = 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
102	8, 101	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 ≤ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
103	102	com12 32	. 2 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
104		ltnle 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
105	6, 4, 104	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝐽))
106	105	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ↔ 𝐽 < 𝐾))
107	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
108		nn0z 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
110		znnsub 12689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
111	107, 109, 110	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 < 𝐾 ↔ (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ))
112	111	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ)
113	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ)
115		nn0ge0 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
116	115	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
118		subge02 11806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
119	34, 38, 118	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾))
120	117, 119	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾)
121	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
122	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
123	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
124	121, 122, 123	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
125	43	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
126	125	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ)
127		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐾 ∈ ℝ)
128		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
129	126, 127, 128	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
131		lelttr 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 − 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (((𝐾 − 𝐽) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
133	120, 132	mpand 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
134	133	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
135	134	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
136	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)
137	112, 114, 136	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) ∧ 𝐽 < 𝐾) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
138	137	exp31 419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
139	138	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
140	9, 139	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
141	1, 140	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
142	141	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
143	10, 142	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))))
144	143	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐽 < 𝐾 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
145	106, 144	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁)))
146	145	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
147		elfzo1 13766	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁) ↔ ((𝐾 − 𝐽) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 𝐽) < 𝑁))
148	146, 147	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 − 𝐽) ∈ (1..^𝑁))
149		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐾 − 𝐽) → (𝑖 + 𝐽) = ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽))
150	1, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → 𝐾 ∈ ℂ)
151	5	zcnd 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
152		npcan 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
153	150, 151, 152	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
154	153	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ((𝐾 − 𝐽) + 𝐽) = 𝐾)
155	149, 154	sylan9eqr 2802	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝑖 + 𝐽) = 𝐾)
156	155	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
157	156	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) ∧ 𝑖 = (𝐾 − 𝐽)) → (𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁) ↔ 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁)))
158		zmodidfzoimp 13952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
159	1, 158	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
160	159	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
161	160	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
162	161	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → 𝐾 = (𝐾 mod 𝑁))
163	148, 157, 162	rspcedvd 3637	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐾 ≤ 𝐽 ∧ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))
164	163	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝐽 → ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁)))
165	103, 164	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑖 ∈ (1..^𝑁)𝐾 = ((𝑖 + 𝐽) mod 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711   mod cmo 13920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  14878