digexp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem digexp 49641

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

**Proof of Theorem digexp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 14222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
18		eluzelre 12946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 14190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
23		eluzge2nn0 12989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 14276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 13555	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49634	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 14252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13917	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 13017	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 14012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
60	7	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 49552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
79		0mod 14011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 11360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
96	95	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
97		nn0sub 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
98	96, 97	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
99	94, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
100		zexpcl 14188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 14268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
125		zexpcl 14188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
131		mod0 13985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4518	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 ifcif 4481 class class class wbr 5102 ‘cfv 6527 (class class class)co 7408 ℂcc 11170 ℝcr 11171 0cc0 11172 1c1 11173 +∞cpnf 11312 < clt 11315 ≤ cle 11316 − cmin 11513 / cdiv 11943 ℕcn 12305 2c2 12367 ℕ₀cn0 12576 ℤcz 12663 ℤ_≥cuz 12935 ℝ⁺crp 13090 [,)cico 13448 ⌊cfl 13899 mod cmo 13978 ↑cexp 14173 digitcdig 49629

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7734 ax-cnex 11228 ax-resscn 11229 ax-1cn 11230 ax-icn 11231 ax-addcl 11232 ax-addrcl 11233 ax-mulcl 11234 ax-mulrcl 11235 ax-mulcom 11236 ax-addass 11237 ax-mulass 11238 ax-distr 11239 ax-i2m1 11240 ax-1ne0 11241 ax-1rid 11242 ax-rnegex 11243 ax-rrecex 11244 ax-cnre 11245 ax-pre-lttri 11246 ax-pre-lttrn 11247 ax-pre-ltadd 11248 ax-pre-mulgt0 11249 ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-op 4590 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6293 df-ord 6354 df-on 6355 df-lim 6356 df-suc 6357 df-iota 6483 df-fun 6529 df-fn 6530 df-f 6531 df-f1 6532 df-fo 6533 df-f1o 6534 df-fv 6535 df-riota 7365 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7861 df-1st 7984 df-2nd 7985 df-frecs 8277 df-wrecs 8308 df-recs 8357 df-rdg 8396 df-er 8695 df-en 8952 df-dom 8953 df-sdom 8954 df-sup 9412 df-inf 9413 df-pnf 11317 df-mnf 11318 df-xr 11319 df-ltxr 11320 df-le 11321 df-sub 11515 df-neg 11516 df-div 11944 df-nn 12306 df-2 12375 df-n0 12577 df-z 12664 df-uz 12936 df-rp 13091 df-ico 13452 df-fl 13901 df-mod 13979 df-seq 14114 df-exp 14174 df-dig 49630

This theorem is used by: dig1 49642

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