digexp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem digexp 49110

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

**Proof of Theorem digexp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 12222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 14067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2747	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6834	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7374	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1140	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
18		eluzelre 12794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 14035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
23		eluzge2nn0 12837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 14121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 517	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 13402	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49103	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 12442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 12442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 14097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13762	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 12865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 13857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2777	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
60	7	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 12441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 12441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 49021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 12979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
79		0mod 13856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
96	95	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
97		nn0sub 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
99	94, 98	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
100		zexpcl 14033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 14113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 11213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	biimtrid 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 12473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
125		zexpcl 14033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 14206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
131		mod0 13830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 735	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 818	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2747	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4493	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2786	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 397 ∨ wo 854 ∧ w3a 1093 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ≠ wne 2936 ifcif 4456 class class class wbr 5074 ‘cfv 6488 (class class class)co 7359 ℂcc 11032 ℝcr 11033 0cc0 11034 1c1 11035 +∞cpnf 11172 < clt 11175 ≤ cle 11176 − cmin 11373 / cdiv 11803 ℕcn 12169 2c2 12231 ℕ₀cn0 12432 ℤcz 12519 ℤ_≥cuz 12783 ℝ⁺crp 12937 [,)cico 13295 ⌊cfl 13744 mod cmo 13823 ↑cexp 14018 digitcdig 49098

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-rep 5201 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7681 ax-cnex 11090 ax-resscn 11091 ax-1cn 11092 ax-icn 11093 ax-addcl 11094 ax-addrcl 11095 ax-mulcl 11096 ax-mulrcl 11097 ax-mulcom 11098 ax-addass 11099 ax-mulass 11100 ax-distr 11101 ax-i2m1 11102 ax-1ne0 11103 ax-1rid 11104 ax-rnegex 11105 ax-rrecex 11106 ax-cnre 11107 ax-pre-lttri 11108 ax-pre-lttrn 11109 ax-pre-ltadd 11110 ax-pre-mulgt0 11111 ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3725 df-csb 3833 df-dif 3887 df-un 3889 df-in 3891 df-ss 3901 df-pss 3904 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-op 4564 df-uni 4841 df-iun 4925 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7316 df-ov 7362 df-oprab 7363 df-mpo 7364 df-om 7810 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8343 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-sup 9349 df-inf 9350 df-pnf 11177 df-mnf 11178 df-xr 11179 df-ltxr 11180 df-le 11181 df-sub 11375 df-neg 11376 df-div 11804 df-nn 12170 df-2 12239 df-n0 12433 df-z 12520 df-uz 12784 df-rp 12938 df-ico 13299 df-fl 13746 df-mod 13824 df-seq 13959 df-exp 14019 df-dig 49099

This theorem is referenced by: dig1 49111

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