digexp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem digexp 47246

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

**Proof of Theorem digexp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 12258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 14072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
18		eluzelre 12829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 14040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
23		eluzge2nn0 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 14125	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 13427	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 47239	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 14101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13769	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 12900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 13864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
60	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 47152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 13010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
79		0mod 13863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 11288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
96	95	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
97		nn0sub 12518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
99	94, 98	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
100		zexpcl 14038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 14117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 11281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	biimtrid 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
125		zexpcl 14038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 14208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
131		mod0 13837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 810	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4563	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ifcif 4527 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 +∞cpnf 11241 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 / cdiv 11867 ℕcn 12208 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ℝ⁺crp 12970 [,)cico 13322 ⌊cfl 13751 mod cmo 13830 ↑cexp 14023 digitcdig 47234

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-inf 9434 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-ico 13326 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-dig 47235

This theorem is referenced by: dig1 47247

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