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Theorem digexp 47866
Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digexp ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12867 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 eluz2nn 12901 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnne0d 12295 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
41, 3jca 510 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
543ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 nn0z 12616 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
7 nn0z 12616 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
86, 7anim12i 611 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
98ancomd 460 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
1093adant1 1127 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11 expsub 14111 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
125, 10, 11syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
1312eqcomd 2731 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
1413fveq2d 6900 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))))
1514oveq1d 7434 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
1623ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17 simp2 1134 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18 eluzelre 12866 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 reexpcl 14079 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2018, 19sylan 578 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2118adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 12904 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 12568 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
2621, 22, 25expge0d 14164 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
2720, 26jca 510 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
28273adant2 1128 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
29 elrege0 13466 . . . 4 ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
3028, 29sylibr 233 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 47859 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
3216, 17, 30, 31syl3anc 1368 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
3433eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35 nn0cn 12515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37 nn0cn 12515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3936, 38subeq0ad 11613 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4039adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4134, 40mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁𝐾) = 0)
4241oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = (𝐵↑0))
431exp0d 14140 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
4544adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
4642, 45eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = 1)
4746fveq2d 6900 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (⌊‘1))
48 1zzd 12626 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49 flid 13809 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
5147, 50eqtrd 2765 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 1)
5251oveq1d 7434 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53 eluz2gt1 12937 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
54 1mod 13904 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
5518, 53, 54syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56553ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
5756adantr 479 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
5852, 57eqtr2d 2766 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
59 simprl1 1215 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
607adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
616adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6260, 61zsubcld 12704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
63623adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
6463ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
65 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
66653ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
68673ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
6966, 68sublt0d 11872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
7069biimprd 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7170adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7271impcom 406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) < 0)
73 expnegico01 47772 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
7459, 64, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
75 ico01fl0 13820 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7776oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
782nnrpd 13049 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79 0mod 13903 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81803ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
8281ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
8377, 82eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84 eluzelz 12865 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85843ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8685ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8767, 65anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88 lenlt 11324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
8988bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9190biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
92913adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9493impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾𝑁)
95 3simpc 1147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
9695ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
97 nn0sub 12555 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9994, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
100 zexpcl 14077 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
10186, 99, 100syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
102 flid 13809 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
104103oveq1d 7434 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵))
10513ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
10633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107105, 106, 63expm1d 14156 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵))
108107eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
109108ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
110 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾))
111873adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112 axlttri 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
114113biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115110, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116115expdimp 451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾 < 𝑁))
117116impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
11883adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119118ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120 znnsub 12641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
122117, 121mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
123 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125 zexpcl 14077 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
12686, 124, 125syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127109, 126eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128183ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129128, 106, 63reexpclzd 14247 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ)
130783ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131 mod0 13877 . . . . . . . . 9 (((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132129, 130, 131syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133132ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134127, 133mpbird 256 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135104, 134eqtrd 2765 . . . . 5 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
13683, 135pm2.61ian 810 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137136eqcomd 2731 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13858, 137ifeqda 4566 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13915, 32, 1383eqtr4d 2775 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141  +∞cpnf 11277   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  [,)cico 13361  cfl 13791   mod cmo 13870  cexp 14062  digitcdig 47854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-dig 47855
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