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Theorem digexp 44148
Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digexp ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12105 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 eluz2nn 12133 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnne0d 11535 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
41, 3jca 512 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
543ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 nn0z 11854 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
7 nn0z 11854 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
86, 7anim12i 612 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
98ancomd 462 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
1093adant1 1123 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11 expsub 13327 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
125, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
1312eqcomd 2801 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
1413fveq2d 6542 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))))
1514oveq1d 7031 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
1623ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17 simp2 1130 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18 eluzelre 12104 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 reexpcl 13296 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2018, 19sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2118adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 12136 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 11806 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
2621, 22, 25expge0d 13378 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
2720, 26jca 512 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
28273adant2 1124 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
29 elrege0 12692 . . . 4 ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
3028, 29sylibr 235 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 44141 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
3216, 17, 30, 31syl3anc 1364 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
3433eqcomd 2801 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35 nn0cn 11755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37 nn0cn 11755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
38373ad2ant2 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3936, 38subeq0ad 10855 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4134, 40mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁𝐾) = 0)
4241oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = (𝐵↑0))
431exp0d 13354 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44433ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
4642, 45eqtrd 2831 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = 1)
4746fveq2d 6542 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (⌊‘1))
48 1zzd 11862 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49 flid 13028 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
5147, 50eqtrd 2831 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 1)
5251oveq1d 7031 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53 eluz2gt1 12169 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
54 1mod 13121 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
5518, 53, 54syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56553ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
5756adantr 481 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
5852, 57eqtr2d 2832 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
59 simprl1 1211 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
607adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
616adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6260, 61zsubcld 11941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
63623adant1 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
6463ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
65 nn0re 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
66653ad2ant3 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67 nn0re 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
68673ad2ant2 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
6966, 68sublt0d 11114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
7069biimprd 249 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7271impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) < 0)
73 expnegico01 44054 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
7459, 64, 72, 73syl3anc 1364 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
75 ico01fl0 13039 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7776oveq1d 7031 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
782nnrpd 12279 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79 0mod 13120 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81803ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
8281ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
8377, 82eqtrd 2831 . . . . 5 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84 eluzelz 12103 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85843ad2ant1 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8685ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8767, 65anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88 lenlt 10566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
8988bicomd 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9190biimpd 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
92913adant1 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9493impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾𝑁)
95 3simpc 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
9695ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
97 nn0sub 11795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9994, 98mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
100 zexpcl 13294 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
10186, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
102 flid 13028 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
104103oveq1d 7031 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵))
10513ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
10633ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107105, 106, 63expm1d 13370 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵))
108107eqcomd 2801 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
109108ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
110 pm4.56 983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾))
111873adant1 1123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112 axlttri 10559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
114113biimprd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115110, 114syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116115expdimp 453 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾 < 𝑁))
117116impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
11883adant1 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119118ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120 znnsub 11877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
122117, 121mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
123 nnm1nn0 11786 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125 zexpcl 13294 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
12686, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127109, 126eqeltrd 2883 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128183ad2ant1 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129128, 106, 63reexpclzd 13460 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ)
130783ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131 mod0 13094 . . . . . . . . 9 (((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132129, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133132ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134127, 133mpbird 258 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135104, 134eqtrd 2831 . . . . 5 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
13683, 135pm2.61ian 808 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137136eqcomd 2801 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13858, 137ifeqda 4416 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13915, 32, 1383eqtr4d 2841 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  ifcif 4381   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  +∞cpnf 10518   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239  [,)cico 12590  cfl 13010   mod cmo 13087  cexp 13279  digitcdig 44136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-dig 44137
This theorem is referenced by:  dig1  44149
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