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Theorem digexp 47293
Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digexp ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12834 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2 eluz2nn 12868 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
32nnne0d 12262 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 β‰  0)
41, 3jca 513 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
543ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0))
6 nn0z 12583 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„€)
7 nn0z 12583 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
86, 7anim12i 614 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))
98ancomd 463 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
1093adant1 1131 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
11 expsub 14076 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = ((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾)))
125, 10, 11syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = ((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾)))
1312eqcomd 2739 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾)) = (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)))
1413fveq2d 6896 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾))) = (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))))
1514oveq1d 7424 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡) = ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡))
1623ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
17 simp2 1138 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
18 eluzelre 12833 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
19 reexpcl 14044 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑𝑁) ∈ ℝ)
2018, 19sylan 581 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑𝑁) ∈ ℝ)
2118adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
23 eluzge2nn0 12871 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
2423nn0ge0d 12535 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ 𝐡)
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ 𝐡)
2621, 22, 25expge0d 14129 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝐡↑𝑁))
2720, 26jca 513 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡↑𝑁)))
28273adant2 1132 . . . 4 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡↑𝑁)))
29 elrege0 13431 . . . 4 ((𝐡↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐡↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐡↑𝑁)))
3028, 29sylibr 233 . . 3 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 47286 . . 3 ((𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐡↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑𝑁)) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
3216, 17, 30, 31syl3anc 1372 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑𝑁)) = ((βŒŠβ€˜((𝐡↑𝑁) / (𝐡↑𝐾))) mod 𝐡))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝐾 = 𝑁)
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑁 = 𝐾)
35 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
36353ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
37 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
38373ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
3936, 38subeq0ad 11581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4039adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4134, 40mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0)
4241oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = (𝐡↑0))
431exp0d 14105 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐡↑0) = 1)
44433ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑0) = 1)
4544adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐡↑0) = 1)
4642, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = 1)
4746fveq2d 6896 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = (βŒŠβ€˜1))
48 1zzd 12593 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 1 ∈ β„€)
49 flid 13773 . . . . . . 7 (1 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜1) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜1) = 1)
5147, 50eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = 1)
5251oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = (1 mod 𝐡))
53 eluz2gt1 12904 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝐡)
54 1mod 13868 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐡) β†’ (1 mod 𝐡) = 1)
5518, 53, 54syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 mod 𝐡) = 1)
56553ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (1 mod 𝐡) = 1)
5756adantr 482 . . . 4 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (1 mod 𝐡) = 1)
5852, 57eqtr2d 2774 . . 3 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 1 = ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡))
59 simprl1 1219 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
607adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
616adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
6260, 61zsubcld 12671 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
63623adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
6463ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
65 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
66653ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
67 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
68673ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
6966, 68sublt0d 11840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
7069biimprd 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 < 𝐾 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0))
7170adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑁 < 𝐾 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0))
7271impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0)
73 expnegico01 47199 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ (0[,)1))
7459, 64, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75 ico01fl0 13784 . . . . . . . 8 ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ (0[,)1) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = 0)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = 0)
7776oveq1d 7424 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = (0 mod 𝐡))
782nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
79 0mod 13867 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ ℝ+ β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
81803ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
8281ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (0 mod 𝐡) = 0)
8377, 82eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = 0)
84 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
85843ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
8767, 65anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88 lenlt 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ Β¬ 𝑁 < 𝐾))
8988bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
9190biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 β†’ 𝐾 ≀ 𝑁))
92913adant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 β†’ 𝐾 ≀ 𝑁))
9392adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 β†’ 𝐾 ≀ 𝑁))
9493impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
95 3simpc 1151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
9695ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
97 nn0sub 12522 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0))
9994, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0)
100 zexpcl 14042 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ β„€)
10186, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ β„€)
102 flid 13773 . . . . . . . 8 ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) = (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)))
104103oveq1d 7424 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) mod 𝐡))
10513ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 β‰  0)
107105, 106, 63expm1d 14121 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1)) = ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡))
108107eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) = (𝐡↑((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1)))
109108ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) = (𝐡↑((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1)))
110 pm4.56 988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ Β¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ Β¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111873adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112 axlttri 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 < 𝑁 ↔ Β¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 < 𝑁 ↔ Β¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114113biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) β†’ 𝐾 < 𝑁))
115110, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((Β¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ Β¬ 𝑁 < 𝐾) β†’ 𝐾 < 𝑁))
116115expdimp 454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁) β†’ (Β¬ 𝑁 < 𝐾 β†’ 𝐾 < 𝑁))
117116impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ 𝐾 < 𝑁)
11883adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))
119118ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€))
120 znnsub 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•))
122117, 121mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)
123 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
125 zexpcl 14042 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
12686, 124, 125syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (𝐡↑((𝑁 βˆ’ 𝐾) βˆ’ 1)) ∈ β„€)
127109, 126eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) ∈ β„€)
128183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
129128, 106, 63reexpclzd 14212 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ ℝ)
130783ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
131 mod0 13841 . . . . . . . . 9 (((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ (((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) mod 𝐡) = 0 ↔ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) ∈ β„€))
132129, 130, 131syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) mod 𝐡) = 0 ↔ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) ∈ β„€))
133132ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ (((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) mod 𝐡) = 0 ↔ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) / 𝐡) ∈ β„€))
134127, 133mpbird 257 . . . . . 6 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾)) mod 𝐡) = 0)
135104, 134eqtrd 2773 . . . . 5 ((Β¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = 0)
13683, 135pm2.61ian 811 . . . 4 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡) = 0)
137136eqcomd 2739 . . 3 (((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐾 = 𝑁) β†’ 0 = ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡))
13858, 137ifeqda 4565 . 2 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((βŒŠβ€˜(𝐡↑(𝑁 βˆ’ 𝐾))) mod 𝐡))
13915, 32, 1383eqtr4d 2783 1 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐾(digitβ€˜π΅)(𝐡↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027  digitcdig 47281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-dig 47282
This theorem is referenced by:  dig1  47294
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