Theorem digexp 49238

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 12277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 14137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6875	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7415	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		eluzelre 12864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 14105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		eluzge2nn0 12907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 14191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 13472	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49231	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 14167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13832	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 12935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 13927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
60	7	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 12504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 12504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 49149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79		0mod 13926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 11276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
96	95	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
97		nn0sub 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
98	96, 97	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
99	94, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
100		zexpcl 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 14183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 11269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 12536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125		zexpcl 14103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 14276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131		mod0 13900	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 823	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4520	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ifcif 4483   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089  +∞cpnf 11228   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  [,)cico 13365  ⌊cfl 13814   mod cmo 13893  ↑cexp 14088  digitcdig 49226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-dig 49227

This theorem is referenced by:  dig1  49239