Theorem digexp 49924

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 13042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 14280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7458	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18		eluzelre 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 14248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		eluzge2nn0 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 14334	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 13612	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 49917	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 11704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 14310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 12754	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13975	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 13074	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 14070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
60	7	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 12835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 49835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 13189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79		0mod 14069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 13002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 11415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
96	95	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
97		nn0sub 12683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
98	96, 97	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0))
99	94, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
100		zexpcl 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 14326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 12769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125		zexpcl 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 14420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131		mod0 14043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4522	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  +∞cpnf 11367   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147  [,)cico 13505  ⌊cfl 13957   mod cmo 14036  ↑cexp 14231  digitcdig 49912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-dig 49913

This theorem is used by:  dig1  49925