digexp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem digexp 44148

Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
digexp	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

**Proof of Theorem digexp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		eluz2nn 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
3	2	nnne0d 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 3	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	4	3ad2ant1 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6		nn0z 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
7		nn0z 11854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	6, 7	anim12i 612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9	8	ancomd 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
10	9	3adant1 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11		expsub 13327	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
12	5, 10, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)))
13	12	eqcomd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾)) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
14	13	fveq2d 6542	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))))
15	14	oveq1d 7031	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
16	2	3ad2ant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℕ)
17		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
18		eluzelre 12104	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		reexpcl 13296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
20	18, 19	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
21	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
23		eluzge2nn0 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
24	23	nn0ge0d 11806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ 𝐵)
26	21, 22, 25	expge0d 13378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
27	20, 26	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
28	27	3adant2 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
29		elrege0 12692	. . . 4 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁)))
30	28, 29	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31		nn0digval 44141	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1364	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = ((⌊‘((𝐵↑𝑁) / (𝐵↑𝐾))) mod 𝐵))
33		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
34	33	eqcomd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35		nn0cn 11755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
37		nn0cn 11755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℂ)
38	37	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℂ)
39	36, 38	subeq0ad 10855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
41	34, 40	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 − 𝐾) = 0)
42	41	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = (𝐵↑0))
43	1	exp0d 13354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44	43	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑0) = 1)
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
46	42, 45	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) = 1)
47	46	fveq2d 6542	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (⌊‘1))
48		1zzd 11862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49		flid 13028	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
51	47, 50	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 1)
52	51	oveq1d 7031	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53		eluz2gt1 12169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝐵)
54		1mod 13121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
55	18, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56	55	3ad2ant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 mod 𝐵) = 1)
57	56	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
58	52, 57	eqtr2d 2832	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
59		simprl1 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2))
60	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
61	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℤ)
62	60, 61	zsubcld 11941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
63	62	3adant1 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
64	63	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
65		nn0re 11754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
67		nn0re 11754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant2 1127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐾 ∈ ℝ)
69	66, 68	sublt0d 11114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
70	69	biimprd 249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁 − 𝐾) < 0))
72	71	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
73		expnegico01 44054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1))
75		ico01fl0 13039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = 0)
77	76	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
78	2	nnrpd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
79		0mod 13120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → (0 mod 𝐵) = 0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81	80	3ad2ant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0 mod 𝐵) = 0)
82	81	ad2antrl 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
83	77, 82	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84		eluzelz 12103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85	84	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrl 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87	67, 65	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88		lenlt 10566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
89	88	bicomd 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
91	90	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
92	91	3adant1 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 ≤ 𝑁))
94	93	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
95		3simpc 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
96	95	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀))
97		nn0sub 11795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀))
99	94, 98	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀)
100		zexpcl 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
101	86, 99, 100	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ)
102		flid 13028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) = (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)))
104	103	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵))
105	1	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℂ)
106	3	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ≠ 0)
107	105, 106, 63	expm1d 13370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵))
108	107	eqcomd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
109	108	ad2antrl 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)))
110		pm4.56 983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾))
111	87	3adant1 1123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112		axlttri 10559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
114	113	biimprd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (¬ (𝐾 = 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115	110, 114	syl5bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116	115	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾 → 𝐾 < 𝑁))
117	116	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
118	8	3adant1 1123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119	118	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120		znnsub 11877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ))
122	117, 121	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
123		nnm1nn0 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀)
125		zexpcl 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
126	86, 124, 125	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁 − 𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127	109, 126	eqeltrd 2883	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128	18	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ)
129	128, 106, 63	reexpclzd 13460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ)
130	78	3ad2ant1 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
131		mod0 13094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ⁺) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132	129, 130, 131	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133	132	ad2antrl 724	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134	127, 133	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁 − 𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135	104, 134	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
136	83, 135	pm2.61ian 808	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137	136	eqcomd 2801	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
138	58, 137	ifeqda 4416	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁 − 𝐾))) mod 𝐵))
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2841	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵↑𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 842 ∧ w3a 1080 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 ≠ wne 2984 ifcif 4381 class class class wbr 4962 ‘cfv 6225 (class class class)co 7016 ℂcc 10381 ℝcr 10382 0cc0 10383 1c1 10384 +∞cpnf 10518 < clt 10521 ≤ cle 10522 − cmin 10717 / cdiv 11145 ℕcn 11486 2c2 11540 ℕ₀cn0 11745 ℤcz 11829 ℤ_≥cuz 12093 ℝ⁺crp 12239 [,)cico 12590 ⌊cfl 13010 mod cmo 13087 ↑cexp 13279 digitcdig 44136

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5081 ax-sep 5094 ax-nul 5101 ax-pow 5157 ax-pr 5221 ax-un 7319 ax-cnex 10439 ax-resscn 10440 ax-1cn 10441 ax-icn 10442 ax-addcl 10443 ax-addrcl 10444 ax-mulcl 10445 ax-mulrcl 10446 ax-mulcom 10447 ax-addass 10448 ax-mulass 10449 ax-distr 10450 ax-i2m1 10451 ax-1ne0 10452 ax-1rid 10453 ax-rnegex 10454 ax-rrecex 10455 ax-cnre 10456 ax-pre-lttri 10457 ax-pre-lttrn 10458 ax-pre-ltadd 10459 ax-pre-mulgt0 10460 ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rmo 3113 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3707 df-csb 3812 df-dif 3862 df-un 3864 df-in 3866 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4212 df-if 4382 df-pw 4455 df-sn 4473 df-pr 4475 df-tp 4477 df-op 4479 df-uni 4746 df-iun 4827 df-br 4963 df-opab 5025 df-mpt 5042 df-tr 5064 df-id 5348 df-eprel 5353 df-po 5362 df-so 5363 df-fr 5402 df-we 5404 df-xp 5449 df-rel 5450 df-cnv 5451 df-co 5452 df-dm 5453 df-rn 5454 df-res 5455 df-ima 5456 df-pred 6023 df-ord 6069 df-on 6070 df-lim 6071 df-suc 6072 df-iota 6189 df-fun 6227 df-fn 6228 df-f 6229 df-f1 6230 df-fo 6231 df-f1o 6232 df-fv 6233 df-riota 6977 df-ov 7019 df-oprab 7020 df-mpo 7021 df-om 7437 df-1st 7545 df-2nd 7546 df-wrecs 7798 df-recs 7860 df-rdg 7898 df-er 8139 df-en 8358 df-dom 8359 df-sdom 8360 df-sup 8752 df-inf 8753 df-pnf 10523 df-mnf 10524 df-xr 10525 df-ltxr 10526 df-le 10527 df-sub 10719 df-neg 10720 df-div 11146 df-nn 11487 df-2 11548 df-n0 11746 df-z 11830 df-uz 12094 df-rp 12240 df-ico 12594 df-fl 13012 df-mod 13088 df-seq 13220 df-exp 13280 df-dig 44137

This theorem is referenced by: dig1 44149

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