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Theorem digexp 46683
Description: The 𝐾 th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
digexp ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))

Proof of Theorem digexp
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 12775 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
2 eluz2nn 12809 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnne0d 12203 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 0)
41, 3jca 512 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
543ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
6 nn0z 12524 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
7 nn0z 12524 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
86, 7anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
98ancomd 462 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
1093adant1 1130 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
11 expsub 14016 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
125, 10, 11syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)))
1312eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾)) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
1413fveq2d 6846 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) = (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))))
1514oveq1d 7372 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
1623ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℕ)
17 simp2 1137 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18 eluzelre 12774 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
19 reexpcl 13984 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2018, 19sylan 580 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ ℝ)
2118adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 eluzge2nn0 12812 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 12476 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐵)
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐵)
2621, 22, 25expge0d 14069 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐵𝑁))
2720, 26jca 512 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
28273adant2 1131 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
29 elrege0 13371 . . . 4 ((𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐵𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝑁)))
3028, 29sylibr 233 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞))
31 nn0digval 46676 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵𝑁) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
3216, 17, 30, 31syl3anc 1371 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = ((⌊‘((𝐵𝑁) / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
3433eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 = 𝐾)
35 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
37 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
38373ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3936, 38subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝑁𝐾) = 0 ↔ 𝑁 = 𝐾))
4134, 40mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁𝐾) = 0)
4241oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = (𝐵↑0))
431exp0d 14045 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵↑0) = 1)
44433ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑0) = 1)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑0) = 1)
4642, 45eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) = 1)
4746fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (⌊‘1))
48 1zzd 12534 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
49 flid 13713 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘1) = 1)
5147, 50eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 1)
5251oveq1d 7372 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (1 mod 𝐵))
53 eluz2gt1 12845 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
54 1mod 13808 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 mod 𝐵) = 1)
5518, 53, 54syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (1 mod 𝐵) = 1)
56553ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 mod 𝐵) = 1)
5756adantr 481 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (1 mod 𝐵) = 1)
5852, 57eqtr2d 2777 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 1 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
59 simprl1 1218 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
607adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
616adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
6260, 61zsubcld 12612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
63623adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
6463ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
65 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
66653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
67 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
68673ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
6966, 68sublt0d 11781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ 𝑁 < 𝐾))
7069biimprd 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (𝑁 < 𝐾 → (𝑁𝐾) < 0))
7271impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) < 0)
73 expnegico01 46589 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) < 0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
7459, 64, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1))
75 ico01fl0 13724 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7674, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = 0)
7776oveq1d 7372 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = (0 mod 𝐵))
782nnrpd 12955 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
79 0mod 13807 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝐵) = 0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (0 mod 𝐵) = 0)
81803ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 mod 𝐵) = 0)
8281ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (0 mod 𝐵) = 0)
8377, 82eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
84 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
85843ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℤ)
8685ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐵 ∈ ℤ)
8767, 65anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
88 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
8988bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9190biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
92913adant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾𝑁))
9493impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾𝑁)
95 3simpc 1150 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
9695ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
97 nn0sub 12463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0))
9994, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
100 zexpcl 13982 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
10186, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ)
102 flid 13713 . . . . . . . 8 ((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) = (𝐵↑(𝑁𝐾)))
104103oveq1d 7372 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵))
10513ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
10633ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ≠ 0)
107105, 106, 63expm1d 14061 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) = ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵))
108107eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
109108ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) = (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)))
110 pm4.56 987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾))
111873adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
112 axlttri 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ ¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾)))
114113biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 = 𝑁𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
115110, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝐾 = 𝑁 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾) → 𝐾 < 𝑁))
116115expdimp 453 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → (¬ 𝑁 < 𝐾𝐾 < 𝑁))
117116impcom 408 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → 𝐾 < 𝑁)
11883adant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
119118ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
120 znnsub 12549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
122117, 121mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
123 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
125 zexpcl 13982 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
12686, 124, 125syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (𝐵↑((𝑁𝐾) − 1)) ∈ ℤ)
127109, 126eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ)
128183ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
129128, 106, 63reexpclzd 14152 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ)
130783ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
131 mod0 13781 . . . . . . . . 9 (((𝐵↑(𝑁𝐾)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
132129, 130, 131syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
133132ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → (((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0 ↔ ((𝐵↑(𝑁𝐾)) / 𝐵) ∈ ℤ))
134127, 133mpbird 256 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((𝐵↑(𝑁𝐾)) mod 𝐵) = 0)
135104, 134eqtrd 2776 . . . . 5 ((¬ 𝑁 < 𝐾 ∧ ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁)) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
13683, 135pm2.61ian 810 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵) = 0)
137136eqcomd 2742 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐾 = 𝑁) → 0 = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13858, 137ifeqda 4522 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → if(𝐾 = 𝑁, 1, 0) = ((⌊‘(𝐵↑(𝑁𝐾))) mod 𝐵))
13915, 32, 1383eqtr4d 2786 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾(digit‘𝐵)(𝐵𝑁)) = if(𝐾 = 𝑁, 1, 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  cfl 13695   mod cmo 13774  cexp 13967  digitcdig 46671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-dig 46672
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