Theorem deg1mul3le 26415

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3le.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3le.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3le.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3le.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3le	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3le.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		deg1mul3le.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		deg1mul3le.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		deg1mul3le.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
9		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐾)
10	8, 9	ffvelcdmd 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
11		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		deg1mul3le.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
13	6, 12	ringcl 20457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
16	15, 6, 1, 5	coe1f 22509	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
18		eldifi 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐾)
21		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 6, 5, 4, 12, 23	coe1sclmulfv 22582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
25	19, 20, 21, 22, 24	syl121anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
26	18, 25	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
27		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
28	27, 6, 1, 5	coe1f 22509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
30		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
31		nn0ex 12593	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33		fvexd 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
34	29, 30, 32, 33	suppssr 8196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘𝐺)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
35	34	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
36		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	5, 23, 36	ringrz 20505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	26, 35, 39	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g‘𝑅))
41	17, 40	suppss 8195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
42		suppssdm 8178	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (coe1‘𝐺)
43	42, 29	fssdm 6721	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℕ0)
44		nn0ssre 12591	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
45		ressxr 11334	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46	44, 45	sstri 3940	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
47	43, 46	sstrdi 3943	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*)
48		supxrss 13443	. . 3 ⊢ ((((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
49	41, 47, 48	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
50		deg1mul3le.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 1, 6, 36, 15	deg1val 26394	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
52	14, 51	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
53	50, 1, 6, 36, 27	deg1val 26394	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
54	53	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
55	49, 52, 54	3brtr4d 5137	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161  supcsup 9416  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  Ringcrg 20439  algSccascl 22140  Poly₁cpl1 22475  coe₁cco1 22476  deg₁cdg1 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-cnfld 21659  df-ascl 22143  df-psr 22197  df-mvr 22198  df-mpl 22199  df-opsr 22201  df-psr1 22478  df-vr1 22479  df-ply1 22480  df-coe1 22481  df-mdeg 26353  df-deg1 26354

This theorem is used by:  rtelextdg2lem  34340  hbtlem2  44084