MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3le 24713
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t · = (.r𝑃)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 20409 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6ply1sclf 20446 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
873ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐴:𝐾𝐵)
9 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐹𝐾)
108, 9ffvelrnd 6840 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
11 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
136, 12ringcl 19307 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
143, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 20372 . . . . 5 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
18 eldifi 4088 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐾)
21 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
22 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 20444 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2618, 25sylan2 595 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
27 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
2827, 6, 1, 5coe1f 20372 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
30 ssidd 3975 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
31 nn0ex 11896 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33 fvexd 6673 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 7851 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1𝐺)‘𝑎) = (0g𝑅))
3534oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
36 eqid 2824 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
375, 23, 36ringrz 19334 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
38373adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3938adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4026, 35, 393eqtrd 2863 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g𝑅))
4117, 40suppss 7850 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
42 suppssdm 7833 . . . . 5 ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (coe1𝐺)
4342, 29fssdm 6518 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℕ0)
44 nn0ssre 11894 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
45 ressxr 10677 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
4644, 45sstri 3961 . . . 4 0 ⊆ ℝ*
4743, 46sstrdi 3964 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*)
48 supxrss 12718 . . 3 ((((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ∧ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 24693 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 24693 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 5084 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cdif 3916  wss 3919   class class class wbr 5052  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145   supp csupp 7820  supcsup 8895  cr 10528  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  0cn0 11890  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  0gc0g 16709  Ringcrg 19293  algSccascl 20077  Poly1cpl1 20338  coe1cco1 20339   deg1 cdg1 24651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-hash 13692  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-ascl 20080  df-psr 20129  df-mvr 20130  df-mpl 20131  df-opsr 20133  df-psr1 20341  df-vr1 20342  df-ply1 20343  df-coe1 20344  df-cnfld 20539  df-mdeg 24652  df-deg1 24653
This theorem is referenced by:  hbtlem2  39921
  Copyright terms: Public domain W3C validator