Theorem deg1mul3le 25309

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3le.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul3le.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3le.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3le.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3le	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3le.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		deg1mul3le.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		deg1mul3le.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		deg1mul3le.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 21484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
9		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐾)
10	8, 9	ffvelcdmd 6982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
11		simp3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		deg1mul3le.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
13	6, 12	ringcl 19828	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 11, 13	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
16	15, 6, 1, 5	coe1f 21410	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
18		eldifi 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐾)
21		simpl3 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 6, 5, 4, 12, 23	coe1sclmulfv 21482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
25	19, 20, 21, 22, 24	syl121anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
26	18, 25	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
27		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
28	27, 6, 1, 5	coe1f 21410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
30		ssidd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
31		nn0ex 12267	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33		fvexd 6807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
34	29, 30, 32, 33	suppssr 8032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘𝐺)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
35	34	oveq2d 7311	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
36		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	5, 23, 36	ringrz 19855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	26, 35, 39	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g‘𝑅))
41	17, 40	suppss 8030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
42		suppssdm 8013	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (coe1‘𝐺)
43	42, 29	fssdm 6638	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℕ0)
44		nn0ssre 12265	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
45		ressxr 11047	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46	44, 45	sstri 3932	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
47	43, 46	sstrdi 3935	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*)
48		supxrss 13094	. . 3 ⊢ ((((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
49	41, 47, 48	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
50		deg1mul3le.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
51	50, 1, 6, 36, 15	deg1val 25289	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
52	14, 51	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
53	50, 1, 6, 36, 27	deg1val 25289	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
54	53	3ad2ant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
55	49, 52, 54	3brtr4d 5109	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5077  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   supp csupp 7997  supcsup 9227  ℝcr 10898  ℝ^*cxr 11036   < clt 11037   ≤ cle 11038  ℕ₀cn0 12261  Basecbs 16940  ._rcmulr 16991  0_gc0g 17178  Ringcrg 19811  algSccascl 21087  Poly₁cpl1 21376  coe₁cco1 21377   deg₁ cdg1 25244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-ofr 7554  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-sup 9229  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-sbg 18610  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-cring 19814  df-subrg 20050  df-lmod 20153  df-lss 20222  df-cnfld 20626  df-ascl 21090  df-psr 21140  df-mvr 21141  df-mpl 21142  df-opsr 21144  df-psr1 21379  df-vr1 21380  df-ply1 21381  df-coe1 21382  df-mdeg 25245  df-deg1 25246

This theorem is referenced by:  hbtlem2  40973