Theorem deg1mul3le 26231

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3le.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3le.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3le.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3le.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3le	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3le.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		deg1mul3le.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		deg1mul3le.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		deg1mul3le.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
9		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐾)
10	8, 9	ffvelcdmd 7070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
11		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		deg1mul3le.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
13	6, 12	ringcl 20320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 11, 13	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
16	15, 6, 1, 5	coe1f 22328	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
17	14, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
18		eldifi 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19		simpl1 1208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simpl2 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐾)
21		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 6, 5, 4, 12, 23	coe1sclmulfv 22401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
25	19, 20, 21, 22, 24	syl121anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
26	18, 25	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
27		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
28	27, 6, 1, 5	coe1f 22328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
30		ssidd 3962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
31		nn0ex 12498	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33		fvexd 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
34	29, 30, 32, 33	suppssr 8179	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘𝐺)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
35	34	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
36		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	5, 23, 36	ringrz 20365	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	26, 35, 39	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g‘𝑅))
41	17, 40	suppss 8178	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
42		suppssdm 8161	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (coe1‘𝐺)
43	42, 29	fssdm 6715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℕ0)
44		nn0ssre 12496	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
45		ressxr 11241	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46	44, 45	sstri 3948	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
47	43, 46	sstrdi 3951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*)
48		supxrss 13346	. . 3 ⊢ ((((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
49	41, 47, 48	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
50		deg1mul3le.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 1, 6, 36, 15	deg1val 26210	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
52	14, 51	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
53	50, 1, 6, 36, 27	deg1val 26210	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
54	53	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
55	49, 52, 54	3brtr4d 5136	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  supcsup 9388  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕ₀cn0 12492  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17480  Ringcrg 20303  algSccascl 21959  Poly₁cpl1 22294  coe₁cco1 22295  deg₁cdg1 26168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-cnfld 21480  df-ascl 21962  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-opsr 22020  df-psr1 22297  df-vr1 22298  df-ply1 22299  df-coe1 22300  df-mdeg 26169  df-deg1 26170

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  34028  hbtlem2  43708