Theorem deg1mul3le 26072

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3le.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mul3le.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3le.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3le.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3le	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3le.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		deg1mul3le.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		deg1mul3le.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		deg1mul3le.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 22220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
9		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐾)
10	8, 9	ffvelcdmd 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
11		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		deg1mul3le.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
13	6, 12	ringcl 20208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 11, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
16	15, 6, 1, 5	coe1f 22145	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
18		eldifi 4106	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐾)
21		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 6, 5, 4, 12, 23	coe1sclmulfv 22218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
25	19, 20, 21, 22, 24	syl121anc 1377	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
26	18, 25	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
27		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
28	27, 6, 1, 5	coe1f 22145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
30		ssidd 3982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
31		nn0ex 12505	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33		fvexd 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
34	29, 30, 32, 33	suppssr 8192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘𝐺)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
35	34	oveq2d 7419	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
36		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	5, 23, 36	ringrz 20252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	26, 35, 39	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g‘𝑅))
41	17, 40	suppss 8191	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
42		suppssdm 8174	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (coe1‘𝐺)
43	42, 29	fssdm 6724	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℕ0)
44		nn0ssre 12503	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
45		ressxr 11277	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46	44, 45	sstri 3968	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
47	43, 46	sstrdi 3971	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*)
48		supxrss 13346	. . 3 ⊢ ((((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
49	41, 47, 48	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
50		deg1mul3le.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
51	50, 1, 6, 36, 15	deg1val 26051	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
52	14, 51	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
53	50, 1, 6, 36, 27	deg1val 26051	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
54	53	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
55	49, 52, 54	3brtr4d 5151	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   supp csupp 8157  supcsup 9450  ℝcr 11126  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17226  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Ringcrg 20191  algSccascl 21810  Poly₁cpl1 22110  coe₁cco1 22111  deg₁cdg1 26009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-cnfld 21314  df-ascl 21813  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-vr1 22114  df-ply1 22115  df-coe1 22116  df-mdeg 26010  df-deg1 26011

This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33706  hbtlem2  43095