MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3le 26170
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = (deg1𝑅)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t · = (.r𝑃)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 22264 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6ply1sclf 22303 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
873ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐴:𝐾𝐵)
9 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐹𝐾)
108, 9ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
11 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
136, 12ringcl 20267 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
143, 10, 11, 13syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15 eqid 2734 . . . . . 6 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 22228 . . . . 5 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
18 eldifi 4140 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐾)
21 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23 eqid 2734 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 22301 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1374 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2618, 25sylan2 593 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
27 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
2827, 6, 1, 5coe1f 22228 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
29283ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
30 ssidd 4018 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
31 nn0ex 12529 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33 fvexd 6921 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 8218 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1𝐺)‘𝑎) = (0g𝑅))
3534oveq2d 7446 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
36 eqid 2734 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
375, 23, 36ringrz 20307 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
38373adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4026, 35, 393eqtrd 2778 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g𝑅))
4117, 40suppss 8217 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
42 suppssdm 8200 . . . . 5 ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (coe1𝐺)
4342, 29fssdm 6755 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℕ0)
44 nn0ssre 12527 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
45 ressxr 11302 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
4644, 45sstri 4004 . . . 4 0 ⊆ ℝ*
4743, 46sstrdi 4007 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*)
48 supxrss 13370 . . 3 ((((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ∧ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 26149 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 26149 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 5179 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962   class class class wbr 5147  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  supcsup 9477  cr 11151  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Ringcrg 20250  algSccascl 21889  Poly1cpl1 22193  coe1cco1 22194  deg1cdg1 26107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-cnfld 21382  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109
This theorem is referenced by:  rtelextdg2lem  33731  hbtlem2  43112
  Copyright terms: Public domain W3C validator