MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul3le 26007
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
deg1mul3le.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22121 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
71, 4, 5, 6ply1sclf 22159 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
873ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
9 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
108, 9ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
11 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
136, 12ringcl 20155 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
143, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
15 eqid 2726 . . . . . 6 (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 22085 . . . . 5 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
18 eldifi 4121 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
19 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
21 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
23 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 22157 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2618, 25sylan2 592 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
27 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
2827, 6, 1, 5coe1f 22085 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
30 ssidd 4000 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
31 nn0ex 12482 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
33 fvexd 6900 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 8181 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
3534oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
36 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
375, 23, 36ringrz 20193 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
38373adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
4026, 35, 393eqtrd 2770 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
4117, 40suppss 8179 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
42 suppssdm 8162 . . . . 5 ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (coe1β€˜πΊ)
4342, 29fssdm 6731 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† β„•0)
44 nn0ssre 12480 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
45 ressxr 11262 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
4644, 45sstri 3986 . . . 4 β„•0 βŠ† ℝ*
4743, 46sstrdi 3989 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*)
48 supxrss 13317 . . 3 ((((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) ∧ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 25987 . . 3 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 25987 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 5173 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  supcsup 9437  β„cr 11111  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  algSccascl 21747  Poly1cpl1 22051  coe1cco1 22052   deg1 cdg1 25942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-cnfld 21241  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mdeg 25943  df-deg1 25944
This theorem is referenced by:  hbtlem2  42449
  Copyright terms: Public domain W3C validator