MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul3le 25625
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
deg1mul3le.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 21761 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
71, 4, 5, 6ply1sclf 21798 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
873ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
9 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
108, 9ffvelcdmd 7084 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
11 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
136, 12ringcl 20066 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
143, 10, 11, 13syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 21726 . . . . 5 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
18 eldifi 4125 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
19 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
21 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
22 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
23 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 21796 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1375 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2618, 25sylan2 593 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
2827, 6, 1, 5coe1f 21726 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
29283ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
30 ssidd 4004 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
31 nn0ex 12474 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
33 fvexd 6903 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 8177 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
3534oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
375, 23, 36ringrz 20101 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
38373adant3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3938adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
4026, 35, 393eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
4117, 40suppss 8175 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
42 suppssdm 8158 . . . . 5 ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (coe1β€˜πΊ)
4342, 29fssdm 6734 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† β„•0)
44 nn0ssre 12472 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
45 ressxr 11254 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
4644, 45sstri 3990 . . . 4 β„•0 βŠ† ℝ*
4743, 46sstrdi 3993 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*)
48 supxrss 13307 . . 3 ((((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) ∧ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 25605 . . 3 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 25605 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 5179 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  supcsup 9431  β„cr 11105  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  algSccascl 21398  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562
This theorem is referenced by:  hbtlem2  41851
  Copyright terms: Public domain W3C validator