Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mul3le 24282
 Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t · = (.r𝑃)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19985 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
71, 4, 5, 6ply1sclf 20022 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
873ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐴:𝐾𝐵)
9 simp2 1171 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐹𝐾)
108, 9ffvelrnd 6614 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐴𝐹) ∈ 𝐵)
11 simp3 1172 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 · = (.r𝑃)
136, 12ringcl 18922 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴𝐹) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
143, 10, 11, 13syl3anc 1494 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15 eqid 2825 . . . . . 6 (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 19948 . . . . 5 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)):ℕ0𝐾)
18 eldifi 3961 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19 simpl1 1246 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1248 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐾)
21 simpl3 1250 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
22 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23 eqid 2825 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 20020 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1498 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
2618, 25sylan2 586 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)))
27 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
2827, 6, 1, 5coe1f 19948 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
29283ad2ant3 1169 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0𝐾)
30 ssidd 3849 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
31 nn0ex 11632 . . . . . . . 8 0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33 fvexd 6452 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (0g𝑅) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 7596 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1𝐺)‘𝑎) = (0g𝑅))
3534oveq2d 6926 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)((coe1𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
36 eqid 2825 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
375, 23, 36ringrz 18949 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
38373adant3 1166 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3938adantr 474 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4026, 35, 393eqtrd 2865 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g𝑅))
4117, 40suppss 7595 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)))
42 suppssdm 7577 . . . . 5 ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (coe1𝐺)
4342, 29fssdm 6298 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℕ0)
44 nn0ssre 11629 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
45 ressxr 10407 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
4644, 45sstri 3836 . . . 4 0 ⊆ ℝ*
4743, 46syl6ss 3839 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*)
48 supxrss 12457 . . 3 ((((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)) ⊆ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ∧ ((coe1𝐺) supp (0g𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 579 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 24262 . . 3 (((𝐴𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 24262 . . 3 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1169 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷𝐺) = sup(((coe1𝐺) supp (0g𝑅)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 4907 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾𝐺𝐵) → (𝐷‘((𝐴𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   supp csupp 7564  supcsup 8621  ℝcr 10258  ℝ*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℕ0cn0 11625  Basecbs 16229  .rcmulr 16313  0gc0g 16460  Ringcrg 18908  algSccascl 19679  Poly1cpl1 19914  coe1cco1 19915   deg1 cdg1 24220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222 This theorem is referenced by:  hbtlem2  38536
 Copyright terms: Public domain W3C validator