Theorem deg1mul3le 24712

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3le.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mul3le.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mul3le.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
deg1mul3le.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mul3le.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
deg1mul3le.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3le	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem deg1mul3le

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3le.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 20418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4		deg1mul3le.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		deg1mul3le.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		deg1mul3le.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	1, 4, 5, 6	ply1sclf 20455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
8	7	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐾⟶𝐵)
9		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐾)
10	8, 9	ffvelrnd 6854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵)
11		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		deg1mul3le.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑃)
13	6, 12	ringcl 19313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 11, 13	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵)
15		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))
16	15, 6, 1, 5	coe1f 20381	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
17	14, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)):ℕ0⟶𝐾)
18		eldifi 4105	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
19		simpl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
20		simpl2 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝐾)
21		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ 𝐵)
22		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℕ0)
23		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
24	1, 6, 5, 4, 12, 23	coe1sclmulfv 20453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
25	19, 20, 21, 22, 24	syl121anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
26	18, 25	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)))
27		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
28	27, 6, 1, 5	coe1f 20381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
29	28	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶𝐾)
30		ssidd 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
31		nn0ex 11906	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
33		fvexd 6687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑅) ∈ V)
34	29, 30, 32, 33	suppssr 7863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘𝐺)‘𝑎) = (0g‘𝑅))
35	34	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝑎)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
36		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	5, 23, 36	ringrz 19340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
38	37	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
39	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	26, 35, 39	3eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ (ℕ0 ∖ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺))‘𝑎) = (0g‘𝑅))
41	17, 40	suppss 7862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)))
42		suppssdm 7845	. . . . 5 ⊢ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (coe1‘𝐺)
43	42, 29	fssdm 6532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℕ0)
44		nn0ssre 11904	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
45		ressxr 10687	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
46	44, 45	sstri 3978	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
47	43, 46	sstrdi 3981	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*)
48		supxrss 12728	. . 3 ⊢ ((((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ∧ ((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ℝ*) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
49	41, 47, 48	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ) ≤ sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
50		deg1mul3le.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
51	50, 1, 6, 36, 15	deg1val 24692	. . 3 ⊢ (((𝐴‘𝐹) · 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
52	14, 51	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) = sup(((coe1‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
53	50, 1, 6, 36, 27	deg1val 24692	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
54	53	3ad2ant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐺) = sup(((coe1‘𝐺) supp (0g‘𝑅)), ℝ*, < ))
55	49, 52, 54	3brtr4d 5100	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐷‘((𝐴‘𝐹) · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   supp csupp 7832  supcsup 8906  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  0_gc0g 16715  Ringcrg 19299  algSccascl 20086  Poly₁cpl1 20347  coe₁cco1 20348   deg₁ cdg1 24650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-ascl 20089  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-vr1 20351  df-ply1 20352  df-coe1 20353  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651  df-deg1 24652

This theorem is referenced by:  hbtlem2  39731