MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3le Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mul3le 26068
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3le.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mul3le.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mul3le.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
deg1mul3le.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
deg1mul3le.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
deg1mul3le ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem deg1mul3le
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mul3le.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22173 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4 deg1mul3le.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 deg1mul3le.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
6 deg1mul3le.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
71, 4, 5, 6ply1sclf 22211 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
873ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴:𝐾⟢𝐡)
9 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
108, 9ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡)
11 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
12 deg1mul3le.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
136, 12ringcl 20192 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜πΉ) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
143, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))
1615, 6, 1, 5coe1f 22137 . . . . 5 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
1714, 16syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)):β„•0⟢𝐾)
18 eldifi 4119 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
19 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
21 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
22 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
23 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
241, 6, 5, 4, 12, 23coe1sclmulfv 22209 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2519, 20, 21, 22, 24syl121anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
2618, 25sylan2 591 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)))
27 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
2827, 6, 1, 5coe1f 22137 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢𝐾)
30 ssidd 3996 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
31 nn0ex 12506 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
3231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
33 fvexd 6906 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3429, 30, 32, 33suppssr 8197 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
3534oveq2d 7431 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)((coe1β€˜πΊ)β€˜π‘Ž)) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
36 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
375, 23, 36ringrz 20232 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
38373adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3938adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
4026, 35, 393eqtrd 2769 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘Ž ∈ (β„•0 βˆ– ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺))β€˜π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
4117, 40suppss 8195 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)))
42 suppssdm 8178 . . . . 5 ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (coe1β€˜πΊ)
4342, 29fssdm 6736 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† β„•0)
44 nn0ssre 12504 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
45 ressxr 11286 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
4644, 45sstri 3982 . . . 4 β„•0 βŠ† ℝ*
4743, 46sstrdi 3985 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*)
48 supxrss 13341 . . 3 ((((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) ∧ ((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
4941, 47, 48syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ) ≀ sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
50 deg1mul3le.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
5150, 1, 6, 36, 15deg1val 26048 . . 3 (((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5214, 51syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) = sup(((coe1β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5350, 1, 6, 36, 27deg1val 26048 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
54533ad2ant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΊ) = sup(((coe1β€˜πΊ) supp (0gβ€˜π‘…)), ℝ*, < ))
5549, 52, 543brtr4d 5175 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜((π΄β€˜πΉ) Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   supp csupp 8161  supcsup 9461  β„cr 11135  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  β„•0cn0 12500  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  Ringcrg 20175  algSccascl 21788  Poly1cpl1 22102  coe1cco1 22103   deg1 cdg1 26003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-cnfld 21282  df-ascl 21791  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-vr1 22106  df-ply1 22107  df-coe1 22108  df-mdeg 26004  df-deg1 26005
This theorem is referenced by:  hbtlem2  42612
  Copyright terms: Public domain W3C validator