MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesupp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglesupp 21477
Description: The support of a dominated bag is smaller than the dominating bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Remove a sethood antecedent. (Revised by SN, 5-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesupp ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglesupp
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ofr 7671 . . . . . 6 ∘r ≀ = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ βˆ€π‘ ∈ (dom π‘Ž ∩ dom 𝑏)(π‘Žβ€˜π‘) ≀ (π‘β€˜π‘)}
21relopabiv 5821 . . . . 5 Rel ∘r ≀
32brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 β†’ 𝐺 ∈ V)
433ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ V)
5 simp2 1138 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
6 fcdmnn0suppg 12530 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
74, 5, 6syl2anc 585 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
8 eldifi 4127 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
9 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
105ffnd 6719 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
11 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
1211psrbagf 21471 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ 𝐷 β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
13123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
1413ffnd 6719 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
15 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 inidm 4219 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
17 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
18 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
1910, 14, 4, 15, 16, 17, 18ofrfvalg 7678 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
209, 19mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
2120r19.21bi 3249 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
228, 21sylan2 594 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
23 fcdmnn0suppg 12530 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
2415, 13, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
25 eqimss 4041 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
27 c0ex 11208 . . . . . . 7 0 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ∈ V)
2913, 26, 15, 28suppssrg 8182 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
3022, 29breqtrd 5175 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0)
31 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
325, 8, 31syl2an 597 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3332nn0ge0d 12535 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3432nn0red 12533 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
35 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
36 letri3 11299 . . . . 5 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3734, 35, 36sylancl 587 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3830, 33, 37mpbir2and 712 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
395, 38suppss 8179 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
407, 39eqsstrrd 4022 1 ((𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473
This theorem is referenced by:  psrbaglecl  21479  psrbagcon  21483
  Copyright terms: Public domain W3C validator