Theorem mvrcl 19917

Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrcl.s	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mvrcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrcl2 19894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8		fvexd 6553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ V)
9		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11	1, 9, 10, 3, 7	psrelbas 19847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffund 6386	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑉‘𝑋))
13		fvexd 6553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
14		snfi 8442	. . . 4 ⊢ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
16		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
20	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋 ∈ 𝐼)
21		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
22		eldifsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
23	21, 22	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
24	23	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
25	2, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 24	mvrval2 19890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
26	23	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
27	26	neneqd 2989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
28	27	iffalsed 4392	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	25, 28	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
30	11, 29	suppss 7711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
31		suppssfifsupp 8694	. . 3 ⊢ ((((𝑉‘𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉‘𝑋) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
32	8, 12, 13, 15, 30, 31	syl32anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
33		mvrcl.s	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		mvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
35	33, 1, 3, 16, 34	mplelbas 19898	. 2 ⊢ ((𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
36	7, 32, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  {crab 3109  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  ifcif 4381  {csn 4472   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  ^◡ccnv 5442   “ cima 5446  Fun wfun 6219  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   supp csupp 7681   ↑_𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357   finSupp cfsupp 8679  0cc0 10383  1c1 10384  ℕcn 11486  ℕ₀cn0 11745  Basecbs 16312  0_gc0g 16542  1_rcur 18941  Ringcrg 18987   mPwSer cmps 19819   mVar cmvr 19820   mPoly cmpl 19821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  19930  mplcoe3  19934  mplcoe5lem  19935  mplcoe5  19936  mplcoe2  19937  mplbas2  19938  mvrf2  19959  mpfproj  19998  mpfind  20003  vr1cl  20068