Theorem mvrcl 22106

Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrcl.s	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mvrcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrcl2 22101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8		fvexd 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ V)
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11	1, 9, 10, 3, 7	psrelbas 22050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffund 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑉‘𝑋))
13		fvexd 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
14		snfi 9036	. . . 4 ⊢ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
20	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋 ∈ 𝐼)
21		eldifsn 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
22	21	bilani 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
23	22	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
24	2, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 23	mvrval2 22097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
25	22	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
26	25	neneqd 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
27	26	iffalsed 4500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	24, 27	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
29	11, 28	suppss 8186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
30		suppssfifsupp 9336	. . 3 ⊢ ((((𝑉‘𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉‘𝑋) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
31	8, 12, 13, 15, 29, 30	syl32anc 1403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
32		mvrcl.s	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
33		mvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
34	32, 1, 3, 16, 33	mplelbas 22105	. 2 ⊢ ((𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
35	7, 31, 34	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317  0cc0 11096  1c1 11097  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311   mPwSer cmps 22019   mVar cmvr 22020   mPoly cmpl 22021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-psr 22024  df-mvr 22025  df-mpl 22026

This theorem is referenced by:  mvrf2  22107  subrgmvrf  22150  mplcoe3  22154  mplcoe5lem  22155  mplcoe5  22156  mplcoe2  22157  mplbas2  22158  evlsvarpw  22215  mpfproj  22226  mpfind  22231  evlsvarval  22243  selvcllem5  22255  mhpvarcl  22276  vr1cl  22342  selvascl  33848  mplmulmvr  33870  evlvarval  33872  esplyind  33906