Theorem mvrcl 21957

Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrcl.s	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mvrcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrcl2 21952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ V)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11	1, 9, 10, 3, 7	psrelbas 21899	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffund 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑉‘𝑋))
13		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
14		snfi 9062	. . . 4 ⊢ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
20	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋 ∈ 𝐼)
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
22		eldifsn 4767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
24	23	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
25	2, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 24	mvrval2 21948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
26	23	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
27	26	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
28	27	iffalsed 4516	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	25, 28	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
30	11, 29	suppss 8198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
31		suppssfifsupp 9397	. . 3 ⊢ ((((𝑉‘𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉‘𝑋) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
32	8, 12, 13, 15, 30, 31	syl32anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
33		mvrcl.s	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		mvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
35	33, 1, 3, 16, 34	mplelbas 21956	. 2 ⊢ ((𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
36	7, 32, 35	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378  0cc0 11134  1c1 11135  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  1_rcur 20146  Ringcrg 20198   mPwSer cmps 21869   mVar cmvr 21870   mPoly cmpl 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-tset 17295  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876

This theorem is referenced by:  mvrf2  21958  subrgmvrf  21997  mplcoe3  22001  mplcoe5lem  22002  mplcoe5  22003  mplcoe2  22004  mplbas2  22005  evlsvarpw  22057  mpfproj  22065  mpfind  22070  mhpvarcl  22091  vr1cl  22158  evlsvarval  42555  selvcllem5  42572