Theorem mvrcl 21970

Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvrcl.s	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mvrcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mvrcl	⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mvrcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		mvrcl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mvrcl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mvrcl2 21965	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ V)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11	1, 9, 10, 3, 7	psrelbas 21914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12	11	ffund 6672	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑉‘𝑋))
13		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
14		snfi 8990	. . . 4 ⊢ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼 ∈ 𝑊)
19	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
20	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋 ∈ 𝐼)
21		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
22		eldifsn 4731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
24	23	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
25	2, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 24	mvrval2 21961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
26	23	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
27	26	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
28	27	iffalsed 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	25, 28	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉‘𝑋)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
30	11, 29	suppss 8144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
31		suppssfifsupp 9293	. . 3 ⊢ ((((𝑉‘𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉‘𝑋) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
32	8, 12, 13, 15, 30, 31	syl32anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
33		mvrcl.s	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
34		mvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
35	33, 1, 3, 16, 34	mplelbas 21969	. 2 ⊢ ((𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
36	7, 32, 35	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  0cc0 11038  1c1 11039  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214   mPwSer cmps 21884   mVar cmvr 21885   mPoly cmpl 21886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891

This theorem is referenced by:  mvrf2  21971  subrgmvrf  22012  mplcoe3  22016  mplcoe5lem  22017  mplcoe5  22018  mplcoe2  22019  mplbas2  22020  evlsvarpw  22077  mpfproj  22088  mpfind  22093  mhpvarcl  22114  vr1cl  22181  mplmulmvr  33683  evlvarval  33685  esplyind  33719  evlsvarval  43001  selvcllem5  43015