MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvrcl 21933
Description: A power series variable is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrcl.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mvrcl.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mvrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mvrcl.i (𝜑𝐼𝑊)
mvrcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mvrcl.x (𝜑𝑋𝐼)
Assertion
Ref Expression
mvrcl (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mvrcl.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2728 . . 3 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4 mvrcl.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 mvrcl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 mvrcl.x . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
71, 2, 3, 4, 5, 6mvrcl2 21928 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8 fvexd 6912 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ V)
9 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10 eqid 2728 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
111, 9, 10, 3, 7psrelbas 21878 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1211ffund 6726 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑉𝑋))
13 fvexd 6912 . . 3 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
14 snfi 9068 . . . 4 {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin)
16 eqid 2728 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 eqid 2728 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
184adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝐼𝑊)
195adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑅 ∈ Ring)
206adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑋𝐼)
21 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}))
22 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))}) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2321, 22sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))))
2423simpld 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
252, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 24mvrval2 21924 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))
2623simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → 𝑥 ≠ (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
2726neneqd 2942 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ¬ 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)))
2827iffalsed 4540 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → if(𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2925, 28eqtrd 2768 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → ((𝑉𝑋)‘𝑥) = (0g𝑅))
3011, 29suppss 8198 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})
31 suppssfifsupp 9403 . . 3 ((((𝑉𝑋) ∈ V ∧ Fun (𝑉𝑋) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))} ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {(𝑦𝐼 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1, 0))})) → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
328, 12, 13, 15, 30, 31syl32anc 1376 . 2 (𝜑 → (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅))
33 mvrcl.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
34 mvrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3533, 1, 3, 16, 34mplelbas 21932 . 2 ((𝑉𝑋) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑉𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑉𝑋) finSupp (0g𝑅)))
367, 32, 35sylanbrc 582 1 (𝜑 → (𝑉𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  {crab 3429  Vcvv 3471  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5677  cima 5681  Fun wfun 6542  cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  m cmap 8844  Fincfn 8963   finSupp cfsupp 9385  0cc0 11138  1c1 11139  cn 12242  0cn0 12502  Basecbs 17179  0gc0g 17420  1rcur 20120  Ringcrg 20172   mPwSer cmps 21836   mVar cmvr 21837   mPoly cmpl 21838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843
This theorem is referenced by:  mvrf2  21934  subrgmvrf  21971  mplcoe3  21975  mplcoe5lem  21976  mplcoe5  21977  mplcoe2  21978  mplbas2  21979  evlsvarpw  22039  mpfproj  22047  mpfind  22052  mhpvarcl  22071  vr1cl  22135  evlsvarval  41798  selvcllem5  41815  selvvvval  41818
  Copyright terms: Public domain W3C validator