MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglesuppOLD 21156
Description: Obsolete version of psrbaglesupp 21155 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesuppOLD ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglesuppOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frnnn0supp 12317 . . 3 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
213ad2antr2 1187 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
4 eldifi 4064 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ)) → 𝑥𝐼)
5 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺r𝐹)
63ffnd 6619 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
7 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbagfOLD 21150 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
983ad2antr1 1186 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
109ffnd 6619 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐼𝑉)
12 inidm 4155 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
13 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
14 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
156, 10, 11, 11, 12, 13, 14ofrfval 7563 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
165, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1716r19.21bi 3228 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
184, 17sylan2 592 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1911, 9jca 511 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
20 frnnn0supp 12317 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
21 eqimss 3979 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
23 c0ex 10997 . . . . . . 7 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 0 ∈ V)
259, 22, 11, 24suppssr 8032 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
2618, 25breqtrd 5103 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ 0)
27 ffvelcdm 6979 . . . . . 6 ((𝐺:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
283, 4, 27syl2an 595 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 12324 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
3028nn0red 12322 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
31 0re 11005 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32 letri3 11088 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3330, 31, 32sylancl 585 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3426, 29, 33mpbir2and 709 . . 3 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) = 0)
353, 34suppss 8030 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
362, 35eqsstrrd 3962 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wral 3059  {crab 3221  Vcvv 3434  cdif 3886  wss 3889   class class class wbr 5077  ccnv 5590  cima 5594  wf 6443  cfv 6447  (class class class)co 7295  r cofr 7552   supp csupp 7997  m cmap 8635  Fincfn 8753  cr 10898  0cc0 10899  cle 11038  cn 12001  0cn0 12261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-ofr 7554  df-om 7733  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262
This theorem is referenced by:  psrbagleclOLD  21158  psrbagconOLD  21162
  Copyright terms: Public domain W3C validator