MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglesuppOLD 21845
Description: Obsolete version of psrbaglesupp 21844 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesuppOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglesuppOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcdmnn0supp 12550 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
213ad2antr2 1187 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
4 eldifi 4122 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
5 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
63ffnd 6717 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
7 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
983ad2antr1 1186 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
109ffnd 6717 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
12 inidm 4214 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
13 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
14 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
156, 10, 11, 11, 12, 13, 14ofrfval 7689 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
165, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1716r19.21bi 3243 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
184, 17sylan2 592 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1911, 9jca 511 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
20 fcdmnn0supp 12550 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
21 eqimss 4036 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
23 c0ex 11230 . . . . . . 7 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 0 ∈ V)
259, 22, 11, 24suppssr 8194 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
2618, 25breqtrd 5168 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0)
27 ffvelcdm 7085 . . . . . 6 ((𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
283, 4, 27syl2an 595 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0ge0d 12557 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3028nn0red 12555 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 0re 11238 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32 letri3 11321 . . . . 5 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3330, 31, 32sylancl 585 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3426, 29, 33mpbir2and 712 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
353, 34suppss 8192 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
362, 35eqsstrrd 4017 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘r cofr 7678   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„cr 11129  0cc0 11130   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ofr 7680  df-om 7865  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495
This theorem is referenced by:  psrbagleclOLD  21847  psrbagconOLD  21851
  Copyright terms: Public domain W3C validator