MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglesuppOLD 21845
Description: Obsolete version of psrbaglesupp 21844 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesuppOLD ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglesuppOLD
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcdmnn0supp 12550 . . 3 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
213ad2antr2 1187 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
4 eldifi 4122 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ)) → 𝑥𝐼)
5 simpr3 1194 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺r𝐹)
63ffnd 6717 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
7 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbagfOLD 21839 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
983ad2antr1 1186 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
109ffnd 6717 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
11 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 𝐼𝑉)
12 inidm 4214 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
13 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
14 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
156, 10, 11, 11, 12, 13, 14ofrfval 7689 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺r𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
165, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1716r19.21bi 3243 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
184, 17sylan2 592 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
1911, 9jca 511 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
20 fcdmnn0supp 12550 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
21 eqimss 4036 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
23 c0ex 11230 . . . . . . 7 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → 0 ∈ V)
259, 22, 11, 24suppssr 8194 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
2618, 25breqtrd 5168 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ≤ 0)
27 ffvelcdm 7085 . . . . . 6 ((𝐺:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
283, 4, 27syl2an 595 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 12557 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
3028nn0red 12555 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
31 0re 11238 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32 letri3 11321 . . . . 5 (((𝐺𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3330, 31, 32sylancl 585 . . . 4 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → ((𝐺𝑥) = 0 ↔ ((𝐺𝑥) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐺𝑥))))
3426, 29, 33mpbir2and 712 . . 3 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐺𝑥) = 0)
353, 34suppss 8192 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
362, 35eqsstrrd 4017 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺r𝐹)) → (𝐺 “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  cdif 3941  wss 3944   class class class wbr 5142  ccnv 5671  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  r cofr 7678   supp csupp 8159  m cmap 8836  Fincfn 8955  cr 11129  0cc0 11130  cle 11271  cn 12234  0cn0 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ofr 7680  df-om 7865  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495
This theorem is referenced by:  psrbagleclOLD  21847  psrbagconOLD  21851
  Copyright terms: Public domain W3C validator