MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglesuppOLD 21469
Description: Obsolete version of psrbaglesupp 21468 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesuppOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglesuppOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcdmnn0supp 12524 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
213ad2antr2 1189 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
3 simpr2 1195 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
4 eldifi 4125 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
5 simpr3 1196 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
63ffnd 6715 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
7 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagfOLD 21463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
983ad2antr1 1188 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
109ffnd 6715 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
11 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
12 inidm 4217 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
13 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
14 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
156, 10, 11, 11, 12, 13, 14ofrfval 7676 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
165, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1716r19.21bi 3248 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
184, 17sylan2 593 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1911, 9jca 512 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
20 fcdmnn0supp 12524 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
21 eqimss 4039 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
23 c0ex 11204 . . . . . . 7 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 0 ∈ V)
259, 22, 11, 24suppssr 8177 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
2618, 25breqtrd 5173 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0)
27 ffvelcdm 7080 . . . . . 6 ((𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
283, 4, 27syl2an 596 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0ge0d 12531 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3028nn0red 12529 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 0re 11212 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32 letri3 11295 . . . . 5 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3330, 31, 32sylancl 586 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3426, 29, 33mpbir2and 711 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
353, 34suppss 8175 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
362, 35eqsstrrd 4020 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7667  df-om 7852  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469
This theorem is referenced by:  psrbagleclOLD  21471  psrbagconOLD  21475
  Copyright terms: Public domain W3C validator