MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglesuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbaglesuppOLD 21862
Description: Obsolete version of psrbaglesupp 21861 as of 5-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglesuppOLD ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbaglesuppOLD
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcdmnn0supp 12558 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
213ad2antr2 1186 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) = (◑𝐺 β€œ β„•))
3 simpr2 1192 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0)
4 eldifi 4124 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
5 simpr3 1193 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)
63ffnd 6722 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
7 psrbag.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
87psrbagfOLD 21856 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
983ad2antr1 1185 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0)
109ffnd 6722 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
11 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
12 inidm 4218 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
13 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
14 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
156, 10, 11, 11, 12, 13, 14ofrfval 7693 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
165, 15mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1716r19.21bi 3239 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
184, 17sylan2 591 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
1911, 9jca 510 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0))
20 fcdmnn0supp 12558 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•))
21 eqimss 4036 . . . . . . 7 ((𝐹 supp 0) = (◑𝐹 β€œ β„•) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
23 c0ex 11238 . . . . . . 7 0 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ 0 ∈ V)
259, 22, 11, 24suppssr 8199 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
2618, 25breqtrd 5174 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0)
27 ffvelcdm 7088 . . . . . 6 ((𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
283, 4, 27syl2an 594 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2928nn0ge0d 12565 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))
3028nn0red 12563 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
31 0re 11246 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32 letri3 11329 . . . . 5 (((πΊβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3330, 31, 32sylancl 584 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘₯) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘₯))))
3426, 29, 33mpbir2and 711 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (◑𝐹 β€œ β„•))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = 0)
353, 34suppss 8197 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (𝐺 supp 0) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
362, 35eqsstrrd 4017 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝐺 ∘r ≀ 𝐹)) β†’ (◑𝐺 β€œ β„•) βŠ† (◑𝐹 β€œ β„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ∘r cofr 7682   supp csupp 8163   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  β„cr 11137  0cc0 11138   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-ofr 7684  df-om 7870  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503
This theorem is referenced by:  psrbagleclOLD  21864  psrbagconOLD  21868
  Copyright terms: Public domain W3C validator