Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprlubrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprlubrd 42533
Description: Natural deduction form of specialized suprlub 12127. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
suprlubrd.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubrd.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprlubrd.3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
suprlubrd.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
suprlubrd.5 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧)
Assertion
Ref Expression
suprlubrd (𝜑𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprlubrd
StepHypRef Expression
1 suprlubrd.5 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧)
2 suprlubrd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 suprlubrd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
4 suprlubrd.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5 suprlubrd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 suprlub 12127 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
72, 3, 4, 5, 6syl31anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧))
87bicomd 222 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
98biimpd 228 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
109imp 408 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑧𝐴 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
111, 10mpdan 686 1 (𝜑𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109  supcsup 9384  cr 11058   < clt 11197  cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  imo72b2lem1  42534
  Copyright terms: Public domain W3C validator