Theorem suprlubrd 45429

Description: Natural deduction form of specialized suprlub 12321. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprlubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprlubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprlubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprlubrd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
suprlubrd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem suprlubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprlubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)
2		suprlubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprlubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprlubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprlubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprlub 12321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
8	7	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 ↔ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
9	8	biimpd 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
10	9	imp 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
11	1, 10	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  supcsup 9469  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  imo72b2lem1  45430