Theorem suprlubrd 41779

Description: Natural deduction form of specialized suprlub 11939. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprlubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprlubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprlubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprlubrd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
suprlubrd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprlubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprlubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)
2		suprlubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprlubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprlubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprlubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprlub 11939	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
8	7	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 ↔ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
9	8	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
10	9	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
11	1, 10	mpdan 684	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  supcsup 9199  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  imo72b2lem1  41780