Theorem suprlubrd 42910

Description: Natural deduction form of specialized suprlub 12177. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprlubrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprlubrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprlubrd.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprlubrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
suprlubrd.5	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
suprlubrd	⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprlubrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprlubrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧)
2		suprlubrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		suprlubrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
4		suprlubrd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
5		suprlubrd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		suprlub 12177	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl31anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧))
8	7	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 ↔ 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
9	8	biimpd 228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < )))
10	9	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))
11	1, 10	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < sup(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  supcsup 9434  ℝcr 11108   < clt 11247   ≤ cle 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  imo72b2lem1  42911