MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiss 9464
Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3990 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
32anim1d 611 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ((𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦) → (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)))
43ss2abdv 4066 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
5 intss 4969 . . 3 ({𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
64, 5syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
7 ssexg 5323 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 458 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9 dffi2 9463 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
108, 9syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
11 dffi2 9463 . . 3 (𝐵𝑉 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
1211adantr 480 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
136, 10, 123sstr4d 4039 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   cint 4946  cfv 6561  ficfi 9450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451
This theorem is referenced by:  fipwuni  9466  elfiun  9470  tgfiss  22998  ordtbas  23200  leordtval2  23220  lecldbas  23227  2ndcsb  23457  ptbasfi  23589  fclscmpi  24037  prdsxmslem2  24542
  Copyright terms: Public domain W3C validator