Theorem fiss 9423

Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiss	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ⊆ 𝑦))
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝑦 → 𝐴 ⊆ 𝑦))
3	2	anim1d 623	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦) → (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)))
4	3	ss2abdv 3989	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
5		intss 4928	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)} → ∩ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ ∩ {𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∩ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ ∩ {𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
7		ssexg 5281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
8	7	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9		dffi2 9422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑦 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
11		dffi2 9422	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐵) = ∩ {𝑦 ∣ (𝐵 ⊆ 𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ∀𝑧 ∈ 𝑦 (𝑥 ∩ 𝑧) ∈ 𝑦)})
13	6, 10, 12	3sstr4d 3964	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∩ cint 4906  ‘cfv 6543  ficfi 9409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8483  df-2o 8484  df-en 8981  df-fin 8984  df-fi 9410

This theorem is used by:  fipwuni  9425  elfiun  9429  tgfiss  23318  ordtbas  23519  leordtval2  23539  lecldbas  23546  2ndcsb  23776  ptbasfi  23909  fclscmpi  24357  prdsxmslem2  24857