MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiss 9462
Description: Subset relationship for function fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem fiss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 4002 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (𝐵𝑦𝐴𝑦))
32anim1d 611 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → ((𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦) → (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)))
43ss2abdv 4076 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
5 intss 4974 . . 3 ({𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
64, 5syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)} ⊆ {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
7 ssexg 5329 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
87ancoms 458 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9 dffi2 9461 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
108, 9syl 17 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ (𝐴𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
11 dffi2 9461 . . 3 (𝐵𝑉 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
1211adantr 480 . 2 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ (𝐵𝑦 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧𝑦 (𝑥𝑧) ∈ 𝑦)})
136, 10, 123sstr4d 4043 1 ((𝐵𝑉𝐴𝐵) → (fi‘𝐴) ⊆ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963   cint 4951  cfv 6563  ficfi 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449
This theorem is referenced by:  fipwuni  9464  elfiun  9468  tgfiss  23014  ordtbas  23216  leordtval2  23236  lecldbas  23243  2ndcsb  23473  ptbasfi  23605  fclscmpi  24053  prdsxmslem2  24558
  Copyright terms: Public domain W3C validator