MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdusgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdusgrfvedg 29524
Description: The value of the vertex degree function for a simple graph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdusgrfvedg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdusgrfvedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2735 . . 3 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4 vtxdushgrfvedg.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
51, 2, 3, 4vtxdusgrval 29520 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}))
6 usgruspgr 29212 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
7 uspgrushgr 29209 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
101, 9vtxdushgrfvedglem 29522 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
118, 10sylan 580 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
125, 11eqtrd 2775 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  dom cdm 5689  cfv 6563  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USHGraphcushgr 29089  USPGraphcuspgr 29180  USGraphcusgr 29181  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  vtxdusgr0edgnelALT  29529  hashnbusgrvd  29561
  Copyright terms: Public domain W3C validator