Theorem clwlksndivn 30058

Description: The size of the set of closed walks of prime length 𝑁 is divisible by 𝑁. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlksndivn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem clwlksndivn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkndivn 30052	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
2		fusgrusgr 29295	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		usgruspgr 29153	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		prmnn 16580	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6		clwlkssizeeq 30057	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
8	1, 7	breqtrd 5112	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  ℕcn 12120  ♯chash 14232   ∥ cdvds 16158  ℙcprime 16577  USPGraphcuspgr 29121  USGraphcusgr 29122  FinUSGraphcfusgr 29289  ClWalkscclwlks 29743   ClWWalksN cclwwlkn 29996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-word 14416  df-lsw 14465  df-concat 14473  df-s1 14499  df-substr 14544  df-pfx 14574  df-reps 14671  df-csh 14691  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-prm 16578  df-phi 16672  df-edg 29021  df-uhgr 29031  df-upgr 29055  df-umgr 29056  df-uspgr 29123  df-usgr 29124  df-fusgr 29290  df-wlks 29573  df-clwlks 29744  df-clwwlk 29954  df-clwwlkn 29997

This theorem is referenced by: (None)