Theorem clwlksndivn 28804

Description: The size of the set of closed walks of prime length 𝑁 is divisible by 𝑁. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlksndivn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem clwlksndivn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkndivn 28798	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
2		fusgrusgr 28044	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		usgruspgr 27903	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		prmnn 16481	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6		clwlkssizeeq 28803	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
8	1, 7	breqtrd 5126	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3405   class class class wbr 5100  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  1^st c1st 7906  ℕcn 12083  ♯chash 14154   ∥ cdvds 16067  ℙcprime 16478  USPGraphcuspgr 27873  USGraphcusgr 27874  FinUSGraphcfusgr 28038  ClWalkscclwlks 28492   ClWWalksN cclwwlkn 28742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-disj 5066  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-oadd 8380  df-er 8578  df-ec 8580  df-qs 8584  df-map 8697  df-pm 8698  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-dju 9767  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-xnn0 12416  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-ico 13195  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-hash 14155  df-word 14327  df-lsw 14375  df-concat 14383  df-s1 14408  df-substr 14457  df-pfx 14487  df-reps 14585  df-csh 14605  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-clim 15301  df-sum 15502  df-dvds 16068  df-gcd 16306  df-prm 16479  df-phi 16569  df-edg 27773  df-uhgr 27783  df-upgr 27807  df-umgr 27808  df-uspgr 27875  df-usgr 27876  df-fusgr 28039  df-wlks 28321  df-clwlks 28493  df-clwwlk 28700  df-clwwlkn 28743

This theorem is referenced by: (None)