Theorem clwlksndivn 30032

Description: The size of the set of closed walks of prime length 𝑁 is divisible by 𝑁. This corresponds to statement 9 in [Huneke] p. 2: "It follows that, if p is a prime number, then the number of closed walks of length p is divisible by p". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlksndivn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑐   𝑁,𝑐

Proof of Theorem clwlksndivn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkndivn 30026	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))
2		fusgrusgr 29266	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		usgruspgr 29124	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		prmnn 16692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
6		clwlkssizeeq 30031	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))
8	1, 7	breqtrd 5149	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘{𝑐 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑐)) = 𝑁}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  1^st c1st 7993  ℕcn 12247  ♯chash 14350   ∥ cdvds 16271  ℙcprime 16689  USPGraphcuspgr 29092  USGraphcusgr 29093  FinUSGraphcfusgr 29260  ClWalkscclwlks 29717   ClWWalksN cclwwlkn 29970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-ico 13374  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14351  df-word 14534  df-lsw 14582  df-concat 14590  df-s1 14615  df-substr 14660  df-pfx 14690  df-reps 14788  df-csh 14808  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-sum 15704  df-dvds 16272  df-gcd 16513  df-prm 16690  df-phi 16784  df-edg 28992  df-uhgr 29002  df-upgr 29026  df-umgr 29027  df-uspgr 29094  df-usgr 29095  df-fusgr 29261  df-wlks 29544  df-clwlks 29718  df-clwwlk 29928  df-clwwlkn 29971

This theorem is referenced by: (None)