Theorem numclwlk1lem2 30858

Description: Lemma 2 for numclwlk1 30859 (Statement 9 in [Huneke] p. 2 for n>2). This theorem corresponds to numclwwlk1 30849, using the general definition of walks instead of walks as words. (Contributed by AV, 4-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwlk1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f	⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1lem2	⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1lem2

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrusgr 30032	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgruspgr 29648	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4	3	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		uzuzle23 12937	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
8	7	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		numclwlk1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		numclwlk1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
11		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
12	9, 10, 11	dlwwlknondlwlknonen 30854	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
13	4, 6, 8, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
14	1	anim2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
15	14	ancomd 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
16	9	isfusgr 29786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
17	15, 16	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
18		eluz3nn 12942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnnn0d 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		wlksnfi 30383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
22	17, 20, 21	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
23		clwlkswks 30250	. . . . . . . 8 ⊢ (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺))
25		simp21 1225	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁)
26	24, 25	rabssrabd 4034	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁})
27	22, 26	ssfid 9243	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ∈ Fin)
28	10, 27	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐶 ∈ Fin)
29	9	clwwlknonfin 30572	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
30	29	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
31		ssrab2 4031	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
33	30, 32	ssfid 9243	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
34		hashen 14415	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
35	28, 33, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
36	13, 35	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
37		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}))
38		oveq12 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
39		fvoveq1 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
40	39	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
41		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑋)
42	40, 41	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
43	38, 42	rabeqbidv 3432	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
44	43	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ (𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁)) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
45		ovex 7450	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
46	45	rabex 5307	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V)
48	37, 44, 6, 8, 47	ovmpod 7569	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
49	48	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
50		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
51		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
52	9, 50, 51	numclwwlk1 30849	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
53		numclwlk1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}
54	5, 9	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
55	54	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
56		uz3m2nn 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
57	56	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
58		clwwlknonclwlknonen 30851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
59	4, 55, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
60	53, 59	eqbrtrid 5144	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
61		uznn0sub 12926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
62	7, 61	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
63	62	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
64		wlksnfi 30383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
65	17, 63, 64	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
66		simp2l 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2))
67	24, 66	rabssrabd 4034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)})
68	65, 67	ssfid 9243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ∈ Fin)
69	53, 68	eqeltrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐹 ∈ Fin)
70	9	clwwlknonfin 30572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
71	70	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
72		hashen 14415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
73	69, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
74	60, 73	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
75	74	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) = (♯‘𝐹))
76	75	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
77	52, 76	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
78	36, 49, 77	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  1^st c1st 7988  2^nd c2nd 7989   ≈ cen 8953  Fincfn 8956  0cc0 11128   · cmul 11133   − cmin 11469  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  USPGraphcuspgr 29616  USGraphcusgr 29617  FinUSGraphcfusgr 29784   RegUSGraph crusgr 30024  Walkscwlks 30064  ClWalkscclwlks 30244  ClWWalksNOncclwwlknon 30565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-s2 14923  df-vtx 29463  df-iedg 29464  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-ushgr 29524  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-uspgr 29618  df-usgr 29619  df-fusgr 29785  df-nbgr 29801  df-vtxdg 29934  df-rgr 30025  df-rusgr 30026  df-wlks 30067  df-clwlks 30245  df-wwlks 30306  df-wwlksn 30307  df-clwwlk 30460  df-clwwlkn 30503  df-clwwlknon 30566

This theorem is used by:  numclwlk1  30859