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Theorem numclwlk1lem2 28141
 Description: Lemma 2 for numclwlk1 28142 (Statement 9 in [Huneke] p. 2 for n>2). This theorem corresponds to numclwwlk1 28132, using the general definition of walks instead of walks as words. (Contributed by AV, 4-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwlk1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1lem2
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrusgr 27338 . . . . . 6 (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ USGraph)
2 usgruspgr 26955 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ USPGraph)
43ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5 simpl 485 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
65adantl 484 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 12281 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
87ad2antll 727 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
9 numclwlk1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 numclwlk1.c . . . . 5 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
11 eqid 2819 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
129, 10, 11dlwwlknondlwlknonen 28137 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
134, 6, 8, 12syl3anc 1365 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
141anim2i 618 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
1514ancomd 464 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
169isfusgr 27092 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1715, 16sylibr 236 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
18 eluzge3nn 12282 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 wlksnfi 27678 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
2217, 20, 21syl2an 597 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
23 clwlkswks 27549 . . . . . . . 8 (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺))
25 simp21 1200 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁)
2624, 25rabssrabd 4056 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁})
2722, 26ssfid 8733 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ∈ Fin)
2810, 27eqeltrid 2915 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ∈ Fin)
299clwwlknonfin 27865 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
3029ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
31 ssrab2 4054 . . . . . 6 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
3231a1i 11 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
3330, 32ssfid 8733 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
34 hashen 13699 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3528, 33, 34syl2anc 586 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3613, 35mpbird 259 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
37 eqidd 2820 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}))
38 oveq12 7157 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
39 fvoveq1 7171 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
4039adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
41 simpl 485 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑋)
4240, 41eqeq12d 2835 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → ((𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
4338, 42rabeqbidv 3484 . . . . 5 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4443adantl 484 . . . 4 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ (𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁)) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
45 ovex 7181 . . . . . 6 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
4645rabex 5226 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V)
4837, 44, 6, 8, 47ovmpod 7294 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4948fveq2d 6667 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
50 eqid 2819 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
51 eqid 2819 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
529, 50, 51numclwwlk1 28132 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
53 numclwlk1.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
545, 9eleqtrdi 2921 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5554adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
56 uz3m2nn 12283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
5756ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
58 clwwlknonclwlknonen 28134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
594, 55, 57, 58syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
6053, 59eqbrtrid 5092 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
61 uznn0sub 12269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
627, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
6362adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
64 wlksnfi 27678 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
6517, 63, 64syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
66 simp2l 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2))
6724, 66rabssrabd 4056 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)})
6865, 67ssfid 8733 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ∈ Fin)
6953, 68eqeltrid 2915 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ∈ Fin)
709clwwlknonfin 27865 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
7170ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
72 hashen 13699 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7369, 71, 72syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7460, 73mpbird 259 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7574eqcomd 2825 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) = (♯‘𝐹))
7675oveq2d 7164 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7752, 76eqtrd 2854 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7836, 49, 773eqtr2d 2860 1 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3140  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680   ≈ cen 8498  Fincfn 8501  0cc0 10529   · cmul 10534   − cmin 10862  ℕcn 11630  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  ♯chash 13682  Vtxcvtx 26773  USPGraphcuspgr 26925  USGraphcusgr 26926  FinUSGraphcfusgr 27090   RegUSGraph crusgr 27330  Walkscwlks 27370  ClWalkscclwlks 27543  ClWWalksNOncclwwlknon 27858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-word 13854  df-lsw 13907  df-concat 13915  df-s1 13942  df-substr 13995  df-pfx 14025  df-s2 14202  df-vtx 26775  df-iedg 26776  df-edg 26825  df-uhgr 26835  df-ushgr 26836  df-upgr 26859  df-umgr 26860  df-uspgr 26927  df-usgr 26928  df-fusgr 27091  df-nbgr 27107  df-vtxdg 27240  df-rgr 27331  df-rusgr 27332  df-wlks 27373  df-clwlks 27544  df-wwlks 27600  df-wwlksn 27601  df-clwwlk 27752  df-clwwlkn 27795  df-clwwlknon 27859 This theorem is referenced by:  numclwlk1  28142
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