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Theorem numclwlk1lem2 30399
Description: Lemma 2 for numclwlk1 30400 (Statement 9 in [Huneke] p. 2 for n>2). This theorem corresponds to numclwwlk1 30390, using the general definition of walks instead of walks as words. (Contributed by AV, 4-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwlk1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1lem2
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrusgr 29597 . . . . . 6 (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ USGraph)
2 usgruspgr 29212 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ USPGraph)
43ad2antlr 727 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
65adantl 481 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 12929 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
87ad2antll 729 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
9 numclwlk1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 numclwlk1.c . . . . 5 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
11 eqid 2735 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
129, 10, 11dlwwlknondlwlknonen 30395 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
134, 6, 8, 12syl3anc 1370 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
141anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
1514ancomd 461 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
169isfusgr 29350 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1715, 16sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
18 eluzge3nn 12930 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 wlksnfi 29937 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
2217, 20, 21syl2an 596 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
23 clwlkswks 29809 . . . . . . . 8 (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺))
25 simp21 1205 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁)
2624, 25rabssrabd 4093 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁})
2722, 26ssfid 9299 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ∈ Fin)
2810, 27eqeltrid 2843 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ∈ Fin)
299clwwlknonfin 30123 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
3029ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
31 ssrab2 4090 . . . . . 6 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
3231a1i 11 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
3330, 32ssfid 9299 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
34 hashen 14383 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3528, 33, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3613, 35mpbird 257 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
37 eqidd 2736 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}))
38 oveq12 7440 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
39 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
41 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑋)
4240, 41eqeq12d 2751 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → ((𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
4338, 42rabeqbidv 3452 . . . . 5 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4443adantl 481 . . . 4 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ (𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁)) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
45 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
4645rabex 5345 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V)
4837, 44, 6, 8, 47ovmpod 7585 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4948fveq2d 6911 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
50 eqid 2735 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
51 eqid 2735 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
529, 50, 51numclwwlk1 30390 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
53 numclwlk1.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
545, 9eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5554adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
56 uz3m2nn 12931 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
5756ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
58 clwwlknonclwlknonen 30392 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
594, 55, 57, 58syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
6053, 59eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
61 uznn0sub 12915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
627, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
6362adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
64 wlksnfi 29937 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
6517, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
66 simp2l 1198 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2))
6724, 66rabssrabd 4093 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)})
6865, 67ssfid 9299 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ∈ Fin)
6953, 68eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ∈ Fin)
709clwwlknonfin 30123 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
7170ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
72 hashen 14383 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7369, 71, 72syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7460, 73mpbird 257 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7574eqcomd 2741 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) = (♯‘𝐹))
7675oveq2d 7447 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7752, 76eqtrd 2775 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7836, 49, 773eqtr2d 2781 1 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  cen 8981  Fincfn 8984  0cc0 11153   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cuz 12876  chash 14366  Vtxcvtx 29028  USPGraphcuspgr 29180  USGraphcusgr 29181  FinUSGraphcfusgr 29348   RegUSGraph crusgr 29589  Walkscwlks 29629  ClWalkscclwlks 29803  ClWWalksNOncclwwlknon 30116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-s2 14884  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-fusgr 29349  df-nbgr 29365  df-vtxdg 29499  df-rgr 29590  df-rusgr 29591  df-wlks 29632  df-clwlks 29804  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054  df-clwwlknon 30117
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