Theorem numclwlk1lem2 30518

Description: Lemma 2 for numclwlk1 30519 (Statement 9 in [Huneke] p. 2 for n>2). This theorem corresponds to numclwwlk1 30509, using the general definition of walks instead of walks as words. (Contributed by AV, 4-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwlk1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f	⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1lem2	⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1lem2

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrusgr 29711	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgruspgr 29327	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 ∈ USPGraph)
4	3	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		uzuzle23 12882	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
8	7	ad2antll 739	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		numclwlk1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		numclwlk1.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
12	9, 10, 11	dlwwlknondlwlknonen 30514	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
13	4, 6, 8, 12	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
14	1	anim2i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
15	14	ancomd 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
16	9	isfusgr 29465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
17	15, 16	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
18		eluz3nn 12887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
19	18	nnnn0d 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	19	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		wlksnfi 30053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
22	17, 20, 21	syl2an 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
23		clwlkswks 29922	. . . . . . . 8 ⊢ (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺))
25		simp21 1219	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁)
26	24, 25	rabssrabd 4036	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁})
27	22, 26	ssfid 9209	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ∈ Fin)
28	10, 27	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐶 ∈ Fin)
29	9	clwwlknonfin 30242	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
30	29	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
31		ssrab2 4033	. . . . . 6 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
33	30, 32	ssfid 9209	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
34		hashen 14357	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
35	28, 33, 34	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
36	13, 35	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
37		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}))
38		oveq12 7401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
39		fvoveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
40	39	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
41		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑋)
42	40, 41	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → ((𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
43	38, 42	rabeqbidv 3431	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
44	43	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ (𝑣 = 𝑋 ∧ 𝑛 = 𝑁)) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
45		ovex 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
46	45	rabex 5294	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V)
48	37, 44, 6, 8, 47	ovmpod 7544	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
49	48	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
50		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
51		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
52	9, 50, 51	numclwwlk1 30509	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
53		numclwlk1.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}
54	5, 9	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
55	54	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
56		uz3m2nn 12892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
57	56	ad2antll 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
58		clwwlknonclwlknonen 30511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
59	4, 55, 57, 58	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
60	53, 59	eqbrtrid 5134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
61		uznn0sub 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
62	7, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
63	62	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
64		wlksnfi 30053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
65	17, 63, 64	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
66		simp2l 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) ∧ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2))
67	24, 66	rabssrabd 4036	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2)})
68	65, 67	ssfid 9209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)} ∈ Fin)
69	53, 68	eqeltrid 2865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐹 ∈ Fin)
70	9	clwwlknonfin 30242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
71	70	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
72		hashen 14357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
73	69, 71, 72	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
74	60, 73	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
75	74	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) = (♯‘𝐹))
76	75	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
77	52, 76	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
78	36, 49, 77	3eqtr2d 2802	1 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  1^st c1st 7964  2^nd c2nd 7965   ≈ cen 8920  Fincfn 8923  0cc0 11070   · cmul 11075   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℕ₀cn0 12478  ℤ_≥cuz 12836  ♯chash 14340  Vtxcvtx 29143  USPGraphcuspgr 29295  USGraphcusgr 29296  FinUSGraphcfusgr 29463   RegUSGraph crusgr 29703  Walkscwlks 29743  ClWalkscclwlks 29916  ClWWalksNOncclwwlknon 30235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-xadd 13112  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-s2 14858  df-vtx 29145  df-iedg 29146  df-edg 29195  df-uhgr 29205  df-ushgr 29206  df-upgr 29229  df-umgr 29230  df-uspgr 29297  df-usgr 29298  df-fusgr 29464  df-nbgr 29480  df-vtxdg 29613  df-rgr 29704  df-rusgr 29705  df-wlks 29746  df-clwlks 29917  df-wwlks 29976  df-wwlksn 29977  df-clwwlk 30130  df-clwwlkn 30173  df-clwwlknon 30236

This theorem is referenced by:  numclwlk1  30519