Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlksnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlksnfi 27696
 Description: The number of walks of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
wlksnfi ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem wlksnfi
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21fusgrvtxfi 27112 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
32adantr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4 wwlksnfi 27695 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6 fusgrusgr 27115 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7 usgruspgr 26974 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
86, 7syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
9 wlknwwlksnen 27678 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
108, 9sylan 583 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
11 enfii 8723 . 2 (((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)
125, 10, 11syl2anc 587 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1st c1st 7673   ≈ cen 8493  Fincfn 8496  ℕ0cn0 11889  ♯chash 13690  Vtxcvtx 26792  USPGraphcuspgr 26944  USGraphcusgr 26945  FinUSGraphcfusgr 27109  Walkscwlks 27389   WWalksN cwwlksn 27615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-upgr 26878  df-uspgr 26946  df-usgr 26947  df-fusgr 27110  df-wlks 27392  df-wwlks 27619  df-wwlksn 27620 This theorem is referenced by:  clwlknon2num  28156  numclwlk1lem2  28158
 Copyright terms: Public domain W3C validator