Theorem wlksnfi 29887

Description: The number of walks of fixed length is finite if the number of vertices is finite (in the graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlksnfi	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem wlksnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 29299	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		wwlksnfi 29886	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6		fusgrusgr 29302	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7		usgruspgr 29160	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
9		wlknwwlksnen 29869	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
10	8, 9	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
11		enfii 9102	. 2 ⊢ (((𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ≈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)
12	5, 10, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st ‘𝑝)) = 𝑁} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1^st c1st 7925   ≈ cen 8872  Fincfn 8875  ℕ₀cn0 12388  ♯chash 14239  Vtxcvtx 28976  USPGraphcuspgr 29128  USGraphcusgr 29129  FinUSGraphcfusgr 29296  Walkscwlks 29577   WWalksN cwwlksn 29806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-upgr 29062  df-uspgr 29130  df-usgr 29131  df-fusgr 29297  df-wlks 29580  df-wwlks 29810  df-wwlksn 29811

This theorem is referenced by:  clwlknon2num  30350  numclwlk1lem2  30352