Theorem usgrumgruspgr 29034

Description: A graph is a simple graph iff it is a multigraph and a simple pseudograph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrumgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Proof of Theorem usgrumgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrumgr 29033	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		usgruspgr 29032	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	jca 510	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	uspgrf 29006	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
7		umgredgss 28985	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8		edgval 28901	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9		prprrab 14461	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
11	7, 8, 10	3sstr3g 4018	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
12		f1ssr 6793	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	6, 11, 12	syl2anr 595	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	4, 5	isusgr 29005	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
15	14	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	13, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	3, 16	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ∖ cdif 3938   ⊆ wss 3941  ∅c0 4319  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  ran crn 5674  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543   ≤ cle 11274  2c2 12292  ♯chash 14316  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Edgcedg 28899  UMGraphcumgr 28933  USPGraphcuspgr 29000  USGraphcusgr 29001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-hash 14317  df-edg 28900  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003

This theorem is referenced by: (None)