Theorem usgrumgruspgr 29473

Description: A graph is a simple graph iff it is a multigraph and a simple pseudograph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrumgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Proof of Theorem usgrumgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrumgr 29472	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		usgruspgr 29471	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	uspgrf 29445	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
7		umgredgss 29424	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8		edgval 29340	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9		prprrab 14510	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
11	7, 8, 10	3sstr3g 3997	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
12		f1ssr 6783	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	6, 11, 12	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	4, 5	isusgr 29444	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	13, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	3, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ran crn 5663  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537   ≤ cle 11244  2c2 12295  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29287  iEdgciedg 29288  Edgcedg 29338  UMGraphcumgr 29372  USPGraphcuspgr 29439  USGraphcusgr 29440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-edg 29339  df-umgr 29374  df-uspgr 29441  df-usgr 29442

This theorem is referenced by: (None)