Theorem usgrumgruspgr 29269

Description: A graph is a simple graph iff it is a multigraph and a simple pseudograph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrumgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Proof of Theorem usgrumgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrumgr 29268	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		usgruspgr 29267	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	jca 516	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	uspgrf 29241	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
7		umgredgss 29220	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
8		edgval 29136	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9		prprrab 14426	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
11	7, 8, 10	3sstr3g 3967	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
12		f1ssr 6729	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13	6, 11, 12	syl2anr 603	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
14	4, 5	isusgr 29240	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
16	13, 15	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
17	3, 16	impbii 210	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072  dom cdm 5618  ran crn 5619  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485   ≤ cle 11171  2c2 12227  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  Edgcedg 29134  UMGraphcumgr 29168  USPGraphcuspgr 29235  USGraphcusgr 29236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29135  df-umgr 29170  df-uspgr 29237  df-usgr 29238

This theorem is referenced by: (None)