Theorem wdomac 10449

Description: When assuming AC, weak and usual dominance coincide. It is not known if this is an AC equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomac	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)

Proof of Theorem wdomac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9481	. . 3 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5688	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		reldom 8899	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5688	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
5		numth3 10392	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → 𝑌 ∈ dom card)
6		wdomnumr 9986	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ dom card → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
8	2, 4, 7	pm5.21nii 378	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   ≼ cdom 8891   ≼^* cwdom 9479  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-wdom 9480  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038

This theorem is referenced by: (None)