Theorem wdomac 10619

Description: When assuming AC, weak and usual dominance coincide. It is not known if this is an AC equivalent. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wdomac	⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)

Proof of Theorem wdomac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relwdom 9573	. . 3 ⊢ Rel ≼*
2	1	brrelex2i 5712	. 2 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
3		reldom 8993	. . 3 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5712	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
5		numth3 10561	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → 𝑌 ∈ dom card)
6		wdomnumr 10156	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ dom card → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌))
8	2, 4, 7	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ 𝑋 ≼ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ≼ cdom 8985   ≼^* cwdom 9571  cardccrd 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-ac2 10554

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-wdom 9572  df-card 10033  df-acn 10036  df-ac 10208

This theorem is used by: (None)