MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wemapso2 9593
Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9591 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . . 4 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
31, 2wemapso2lem 9592 . . 3 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
43expcom 413 . 2 (𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5 so0 5630 . . . 4 𝑇 Or ∅
6 relfsupp 9403 . . . . . . . . . 10 Rel finSupp
76brrelex2i 5742 . . . . . . . . 9 (𝑥 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
87con3i 154 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
98ralrimivw 3150 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10 rabeq0 4388 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
119, 10sylibr 234 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
122, 11eqtrid 2789 . . . . 5 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13 soeq2 5614 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
1412, 13syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
155, 14mpbiri 258 . . 3 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
1615a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
174, 16pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143  {copab 5205   Or wor 5591  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866   finSupp cfsupp 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-1o 8506  df-map 8868  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402
This theorem is referenced by:  oemapso  9722
  Copyright terms: Public domain W3C validator