MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wemapso2 9352
Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9350 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . . 4 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
31, 2wemapso2lem 9351 . . 3 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
43expcom 415 . 2 (𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5 so0 5546 . . . 4 𝑇 Or ∅
6 relfsupp 9170 . . . . . . . . . 10 Rel finSupp
76brrelex2i 5651 . . . . . . . . 9 (𝑥 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
87con3i 154 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
98ralrimivw 3144 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10 rabeq0 4324 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
119, 10sylibr 234 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
122, 11eqtrid 2788 . . . . 5 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13 soeq2 5532 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
1412, 13syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
155, 14mpbiri 259 . . 3 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
1615a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
174, 16pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3062  wrex 3071  {crab 3284  Vcvv 3437  c0 4262   class class class wbr 5081  {copab 5143   Or wor 5509  cfv 6454  (class class class)co 7303  m cmap 8642   finSupp cfsupp 9168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-1o 8324  df-map 8644  df-en 8761  df-fin 8764  df-fsupp 9169
This theorem is referenced by:  oemapso  9480
  Copyright terms: Public domain W3C validator