Theorem wemapso2 9578

Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9576 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	1, 2	wemapso2lem 9577	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
4	3	expcom 412	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5		so0 5626	. . . 4 ⊢ 𝑇 Or ∅
6		relfsupp 9389	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel finSupp
7	6	brrelex2i 5735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
8	7	con3i 154	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
9	8	ralrimivw 3139	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10		rabeq0 4386	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
12	2, 11	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13		soeq2 5612	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈 ↔ 𝑇 Or ∅))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈 ↔ 𝑇 Or ∅))
15	5, 14	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
16	15	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
17	4, 16	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  {copab 5211   Or wor 5589  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845   finSupp cfsupp 9387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-1o 8487  df-map 8847  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9388

This theorem is referenced by:  oemapso  9707