Theorem wemapso2 9584

Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9582 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wemapso.t	⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
wemapso2.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}

Assertion

Ref	Expression
wemapso2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤)   𝑍(𝑦, 𝑧, 𝑤)

Proof of Theorem wemapso2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wemapso.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))}
2		wemapso2.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
3	1, 2	wemapso2lem 9583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
4	3	expcom 419	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5		so0 5604	. . . 4 ⊢ 𝑇 Or ∅
6		relfsupp 9393	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel finSupp
7	6	brrelex2i 5715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
8	7	con3i 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
9	8	ralrimivw 3162	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10		rabeq0 4341	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
11	9, 10	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
12	2, 11	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13		soeq2 5588	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈 ↔ 𝑇 Or ∅))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈 ↔ 𝑇 Or ∅))
15	5, 14	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
16	15	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
17	4, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  {copab 5173   Or wor 5565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885   finSupp cfsupp 9391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-1o 8514  df-map 8887  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392

This theorem is used by:  oemapso  9720