MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wemapso2 9578
Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9576 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . . 4 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
31, 2wemapso2lem 9577 . . 3 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
43expcom 412 . 2 (𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5 so0 5626 . . . 4 𝑇 Or ∅
6 relfsupp 9389 . . . . . . . . . 10 Rel finSupp
76brrelex2i 5735 . . . . . . . . 9 (𝑥 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
87con3i 154 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
98ralrimivw 3139 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10 rabeq0 4386 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
119, 10sylibr 233 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
122, 11eqtrid 2777 . . . . 5 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13 soeq2 5612 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
1412, 13syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
155, 14mpbiri 257 . . 3 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
1615a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
174, 16pm2.61i 182 1 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  c0 4322   class class class wbr 5149  {copab 5211   Or wor 5589  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845   finSupp cfsupp 9387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-1o 8487  df-map 8847  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9388
This theorem is referenced by:  oemapso  9707
  Copyright terms: Public domain W3C validator