Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wemapso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wemapso2 9005
 Description: An alternative to having a well-order on 𝑅 in wemapso 9003 is to restrict the function set to finitely-supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 1-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapso2.u 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
Assertion
Ref Expression
wemapso2 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapso2
StepHypRef Expression
1 wemapso.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2 wemapso2.u . . . 4 𝑈 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
31, 2wemapso2lem 9004 . . 3 (((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑇 Or 𝑈)
43expcom 417 . 2 (𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
5 so0 5477 . . . 4 𝑇 Or ∅
6 relfsupp 8823 . . . . . . . . . 10 Rel finSupp
76brrelex2i 5577 . . . . . . . . 9 (𝑥 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
87con3i 157 . . . . . . . 8 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
98ralrimivw 3153 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
10 rabeq0 4295 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ¬ 𝑥 finSupp 𝑍)
119, 10sylibr 237 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} = ∅)
122, 11syl5eq 2848 . . . . 5 𝑍 ∈ V → 𝑈 = ∅)
13 soeq2 5463 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
1412, 13syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → (𝑇 Or 𝑈𝑇 Or ∅))
155, 14mpbiri 261 . . 3 𝑍 ∈ V → 𝑇 Or 𝑈)
1615a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈))
174, 16pm2.61i 185 1 ((𝐴𝑉𝑅 Or 𝐴𝑆 Or 𝐵) → 𝑇 Or 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  {copab 5095   Or wor 5441  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393   finSupp cfsupp 8821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-fin 8500  df-fsupp 8822 This theorem is referenced by:  oemapso  9133
 Copyright terms: Public domain W3C validator