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Theorem wemapsolem 9486
Description: Lemma for wemapso 9487. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by AV, 21-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wemapso.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
wemapsolem.1 𝑈 ⊆ (𝐵m 𝐴)
wemapsolem.2 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
wemapsolem.3 (𝜑𝑆 Or 𝐵)
wemapsolem.4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
Assertion
Ref Expression
wemapsolem (𝜑𝑇 Or 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥,𝐵   𝑇,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑤,𝑎,𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑥,𝐴,𝑑   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wemapsolem
StepHypRef Expression
1 wemapsolem.1 . . 3 𝑈 ⊆ (𝐵m 𝐴)
2 wemapsolem.2 . . . 4 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
3 wemapsolem.3 . . . . 5 (𝜑𝑆 Or 𝐵)
4 sopo 5564 . . . . 5 (𝑆 Or 𝐵𝑆 Po 𝐵)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 Po 𝐵)
6 wemapso.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐴 ((𝑥𝑧)𝑆(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
76wemappo 9485 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po (𝐵m 𝐴))
82, 5, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑇 Po (𝐵m 𝐴))
9 poss 5547 . . 3 (𝑈 ⊆ (𝐵m 𝐴) → (𝑇 Po (𝐵m 𝐴) → 𝑇 Po 𝑈))
101, 8, 9mpsyl 68 . 2 (𝜑𝑇 Po 𝑈)
11 df-ne 2944 . . . . 5 (𝑎𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
12 wemapsolem.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐)
13 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎𝑈)
141, 13sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴))
15 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑎:𝐴𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎:𝐴𝐵)
1716ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴)
18 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏𝑈)
191, 18sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴))
20 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑏:𝐴𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏:𝐴𝐵)
2221ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴)
23 fndmdif 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 Fn 𝐴𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎𝑏) = {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)})
2417, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → dom (𝑎𝑏) = {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)})
2524eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏) ↔ 𝑐 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)}))
26 nesym 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥) ↔ ¬ (𝑏𝑥) = (𝑎𝑥))
27 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝑏𝑥) = (𝑏𝑐))
28 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝑎𝑥) = (𝑎𝑐))
2927, 28eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑏𝑥) = (𝑎𝑥) ↔ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)))
3029notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑐 → (¬ (𝑏𝑥) = (𝑎𝑥) ↔ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)))
3126, 30bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥) ↔ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)))
3231elrab 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)} ↔ (𝑐𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)))
3325, 32bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏) ↔ (𝑐𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐))))
3424eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ↔ 𝑑 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)}))
35 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑑 → (𝑏𝑥) = (𝑏𝑑))
36 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑑 → (𝑎𝑥) = (𝑎𝑑))
3735, 36eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑏𝑥) = (𝑎𝑥) ↔ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))
3837notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑑 → (¬ (𝑏𝑥) = (𝑎𝑥) ↔ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))
3926, 38bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑑 → ((𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥) ↔ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))
4039elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝑎𝑥) ≠ (𝑏𝑥)} ↔ (𝑑𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))
4134, 40bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ↔ (𝑑𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
4241imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ ((𝑑𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐)))
43 impexp 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑𝐴 → (¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐)))
44 con34b 315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) ↔ (¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐))
4544imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ↔ (𝑑𝐴 → (¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐)))
4643, 45bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
4742, 46bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
4847ralbidv2 3170 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐 ↔ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
4933, 48anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ ((𝑐𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
50 anass 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝑐𝐴 ∧ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
5149, 50bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ((𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑐𝐴 ∧ (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))))
5251rexbidv2 3171 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (∃𝑐 ∈ dom (𝑎𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐 ↔ ∃𝑐𝐴 (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
5312, 52mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐𝐴 (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
543ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → 𝑆 Or 𝐵)
5521ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑏𝑐) ∈ 𝐵)
5616ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (𝑎𝑐) ∈ 𝐵)
57 sotrieq 5574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑐) ∈ 𝐵)) → ((𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ↔ ¬ ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐))))
5857con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑐) ∈ 𝐵)) → (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ↔ ¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐)))
5958biimprd 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎𝑐) ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) → ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐))))
6054, 55, 56, 59syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) → ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐))))
6160anim1d 611 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) ∧ 𝑐𝐴) → ((¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) → (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
6261reximdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (∃𝑐𝐴 (¬ (𝑏𝑐) = (𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) → ∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
6353, 62mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → ∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
646wemaplem1 9482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑏𝑇𝑎 ↔ ∃𝑐𝐴 ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
6564el2v 3453 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑇𝑎 ↔ ∃𝑐𝐴 ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
666wemaplem1 9482 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑇𝑏 ↔ ∃𝑐𝐴 ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))))
6766el2v 3453 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑇𝑏 ↔ ∃𝑐𝐴 ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑))))
6865, 67orbi12i 913 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏) ↔ (∃𝑐𝐴 ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ∃𝑐𝐴 ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))))
69 r19.43 3125 . . . . . . . 8 (∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))) ↔ (∃𝑐𝐴 ((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ∃𝑐𝐴 ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))))
70 andir 1007 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ↔ (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))))
71 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑑) = (𝑎𝑑) ↔ (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑))
7271imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) ↔ (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))
7372ralbii 3096 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)) ↔ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))
7473anbi2i 623 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ↔ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑))))
7574orbi2i 911 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑)))) ↔ (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))))
7670, 75bitr2i 275 . . . . . . . . 9 ((((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))) ↔ (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
7776rexbii 3097 . . . . . . . 8 (∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))) ∨ ((𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎𝑑) = (𝑏𝑑)))) ↔ ∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
7868, 69, 773bitr2i 298 . . . . . . 7 ((𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏) ↔ ∃𝑐𝐴 (((𝑏𝑐)𝑆(𝑎𝑐) ∨ (𝑎𝑐)𝑆(𝑏𝑐)) ∧ ∀𝑑𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏𝑑) = (𝑎𝑑))))
7963, 78sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑈𝑏𝑈) ∧ 𝑎𝑏)) → (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏))
8079expr 457 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑎𝑏 → (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏)))
8111, 80biimtrrid 242 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏)))
8281orrd 861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏)))
83 3orrot 1092 . . . 4 ((𝑎𝑇𝑏𝑎 = 𝑏𝑏𝑇𝑎) ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏))
84 3orass 1090 . . . 4 ((𝑎 = 𝑏𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏)))
8583, 84bitr2i 275 . . 3 ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎𝑎𝑇𝑏)) ↔ (𝑎𝑇𝑏𝑎 = 𝑏𝑏𝑇𝑎))
8682, 85sylib 217 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑈𝑏𝑈)) → (𝑎𝑇𝑏𝑎 = 𝑏𝑏𝑇𝑎))
8710, 86issod 5578 1 (𝜑𝑇 Or 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910   class class class wbr 5105  {copab 5167   Po wpo 5543   Or wor 5544  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767
This theorem is referenced by:  wemapso  9487  wemapso2lem  9488
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