Proof of Theorem wemapsolem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | wemapsolem.1 |
. . 3
⊢ 𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴) |
2 | | wemapsolem.2 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V) |
3 | | wemapsolem.3 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴) |
4 | | wemapsolem.4 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑆 Or 𝐵) |
5 | | sopo 5486 |
. . . . 5
⊢ (𝑆 Or 𝐵 → 𝑆 Po 𝐵) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 Po 𝐵) |
7 | | wemapso.t |
. . . . 5
⊢ 𝑇 = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥‘𝑧)𝑆(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑤𝑅𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤)))} |
8 | 7 | wemappo 9007 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑆 Po 𝐵) → 𝑇 Po (𝐵 ↑m 𝐴)) |
9 | 2, 3, 6, 8 | syl3anc 1367 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑇 Po (𝐵 ↑m 𝐴)) |
10 | | poss 5470 |
. . 3
⊢ (𝑈 ⊆ (𝐵 ↑m 𝐴) → (𝑇 Po (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑇 Po 𝑈)) |
11 | 1, 9, 10 | mpsyl 68 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑇 Po 𝑈) |
12 | | df-ne 3017 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏) |
13 | | wemapsolem.5 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐) |
14 | | simprll 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝑈) |
15 | 1, 14 | sseldi 3964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)) |
16 | | elmapi 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑎:𝐴⟶𝐵) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎:𝐴⟶𝐵) |
18 | 17 | ffnd 6509 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑎 Fn 𝐴) |
19 | | simprlr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝑈) |
20 | 1, 19 | sseldi 3964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴)) |
21 | | elmapi 8422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) → 𝑏:𝐴⟶𝐵) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏:𝐴⟶𝐵) |
23 | 22 | ffnd 6509 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → 𝑏 Fn 𝐴) |
24 | | fndmdif 6806 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑎 Fn 𝐴 ∧ 𝑏 Fn 𝐴) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)}) |
25 | 18, 23, 24 | syl2anc 586 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → dom (𝑎 ∖ 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)}) |
26 | 25 | eleq2d 2898 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ↔ 𝑐 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)})) |
27 | | nesym 3072 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥) ↔ ¬ (𝑏‘𝑥) = (𝑎‘𝑥)) |
28 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑏‘𝑥) = (𝑏‘𝑐)) |
29 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑎‘𝑥) = (𝑎‘𝑐)) |
30 | 28, 29 | eqeq12d 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑏‘𝑥) = (𝑎‘𝑥) ↔ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐))) |
31 | 30 | notbid 320 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (¬ (𝑏‘𝑥) = (𝑎‘𝑥) ↔ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐))) |
32 | 27, 31 | syl5bb 285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥) ↔ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐))) |
33 | 32 | elrab 3679 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑐 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)} ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐))) |
34 | 26, 33 | syl6bb 289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐)))) |
35 | 25 | eleq2d 2898 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ↔ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)})) |
36 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑏‘𝑥) = (𝑏‘𝑑)) |
37 | | fveq2 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑑 → (𝑎‘𝑥) = (𝑎‘𝑑)) |
38 | 36, 37 | eqeq12d 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑏‘𝑥) = (𝑎‘𝑥) ↔ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) |
39 | 38 | notbid 320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 𝑑 → (¬ (𝑏‘𝑥) = (𝑎‘𝑥) ↔ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) |
40 | 27, 39 | syl5bb 285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥) ↔ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) |
41 | 40 | elrab 3679 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝑎‘𝑥) ≠ (𝑏‘𝑥)} ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) |
42 | 35, 41 | syl6bb 289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
43 | 42 | imbi1d 344 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐))) |
44 | | impexp 453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐))) |
45 | | con34b 318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) ↔ (¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐)) |
46 | 45 | imbi2i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑑 ∈ 𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑) → ¬ 𝑑𝑅𝑐))) |
47 | 44, 46 | bitr4i 280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
48 | 43, 47 | syl6bb 289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) → ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 → (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
49 | 48 | ralbidv2 3195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐 ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
50 | 34, 49 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
51 | | anass 471 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
52 | 50, 51 | syl6bb 289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ((𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ∧ ∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐) ↔ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))))) |
53 | 52 | rexbidv2 3295 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏)∀𝑑 ∈ dom (𝑎 ∖ 𝑏) ¬ 𝑑𝑅𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
54 | 13, 53 | mpbid 234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
55 | 4 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → 𝑆 Or 𝐵) |
56 | 22 | ffvelrnda 6845 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑏‘𝑐) ∈ 𝐵) |
57 | 17 | ffvelrnda 6845 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (𝑎‘𝑐) ∈ 𝐵) |
58 | | sotrieq 5496 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏‘𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ 𝐵)) → ((𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ↔ ¬ ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)))) |
59 | 58 | con2bid 357 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏‘𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ 𝐵)) → (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ↔ ¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐))) |
60 | 59 | biimprd 250 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑆 Or 𝐵 ∧ ((𝑏‘𝑐) ∈ 𝐵 ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ 𝐵)) → (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) → ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)))) |
61 | 55, 56, 57, 60 | syl12anc 834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) → ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)))) |
62 | 61 | anim1d 612 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) → ((¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) → (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
63 | 62 | reximdva 3274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (∃𝑐 ∈ 𝐴 (¬ (𝑏‘𝑐) = (𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
64 | 54, 63 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ 𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
65 | 7 | wemaplem1 9004 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ V) → (𝑏𝑇𝑎 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
66 | 65 | el2v 3501 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏𝑇𝑎 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
67 | 7 | wemaplem1 9004 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑇𝑏 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))))) |
68 | 67 | el2v 3501 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎𝑇𝑏 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)))) |
69 | 66, 68 | orbi12i 911 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏) ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))))) |
70 | | r19.43 3351 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑐 ∈
𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)))) ↔ (∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ∃𝑐 ∈ 𝐴 ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))))) |
71 | | andir 1005 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ↔ (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))))) |
72 | | eqcom 2828 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑) ↔ (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)) |
73 | 72 | imbi2i 338 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) ↔ (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))) |
74 | 73 | ralbii 3165 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑑 ∈
𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))) |
75 | 74 | anbi2i 624 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ↔ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)))) |
76 | 75 | orbi2i 909 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) ↔ (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑))))) |
77 | 71, 76 | bitr2i 278 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)))) ↔ (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
78 | 77 | rexbii 3247 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑐 ∈
𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑))) ∨ ((𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑎‘𝑑) = (𝑏‘𝑑)))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
79 | 69, 70, 78 | 3bitr2i 301 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐴 (((𝑏‘𝑐)𝑆(𝑎‘𝑐) ∨ (𝑎‘𝑐)𝑆(𝑏‘𝑐)) ∧ ∀𝑑 ∈ 𝐴 (𝑑𝑅𝑐 → (𝑏‘𝑑) = (𝑎‘𝑑)))) |
80 | 64, 79 | sylibr 236 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏)) → (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏)) |
81 | 80 | expr 459 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏))) |
82 | 12, 81 | syl5bir 245 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏))) |
83 | 82 | orrd 859 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏))) |
84 | | 3orrot 1088 |
. . . 4
⊢ ((𝑎𝑇𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏𝑇𝑎) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏)) |
85 | | 3orass 1086 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏) ↔ (𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏))) |
86 | 84, 85 | bitr2i 278 |
. . 3
⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∨ (𝑏𝑇𝑎 ∨ 𝑎𝑇𝑏)) ↔ (𝑎𝑇𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏𝑇𝑎)) |
87 | 83, 86 | sylib 220 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑎𝑇𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑏𝑇𝑎)) |
88 | 11, 87 | issod 5500 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑇 Or 𝑈) |