Theorem xdivrec 32820

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 11209	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 32816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 13238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 13202	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 13223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 13202	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵)
16		xdivmul 32818	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulrid 13215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 32818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  ℝ^*cxr 11183   ·_e cxmu 13047   /_𝑒 cxdiv 32810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-xneg 13048  df-xmul 13050  df-xdiv 32811

This theorem is referenced by:  esumdivc  34046