Theorem xdivrec 33549

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 11381	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 33545	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /e 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 13445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 13409	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 13430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 13409	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵)
16		xdivmul 33547	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulrid 13422	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 33547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214  ℝ^*cxr 11355   ·_e cxmu 13253   /_e cxdiv 33539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-xneg 13254  df-xmul 13256  df-xdiv 33540

This theorem is used by:  esumdivc  34771