Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivrec 32093
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
xdivrec ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))

Proof of Theorem xdivrec
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21rexrd 11264 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
4 1xr 11273 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
6 simp3 1139 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
75, 1, 6xdivcld 32089 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
83, 7xmulcld 13281 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„*)
9 xmulcom 13245 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต))
102, 8, 9syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต))
11 xmulass 13266 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)))
123, 7, 2, 11syl3anc 1372 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)))
13 xmulcom 13245 . . . . . . 7 (((1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
147, 2, 13syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต)
16 xdivmul 32091 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„* โˆง (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต) โ†” (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1))
175, 7, 1, 6, 16syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต) โ†” (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1))
1815, 17mpbii 232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1)
1914, 18eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = 1)
2019oveq2d 7425 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)) = (๐ด ยทe 1))
2110, 12, 203eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = (๐ด ยทe 1))
22 xmulrid 13258 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
233, 22syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
2421, 23eqtrd 2773 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด)
25 xdivmul 32091 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โ†” (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด))
263, 8, 1, 6, 25syl112anc 1375 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โ†” (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด))
2724, 26mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  โ„*cxr 11247   ยทe cxmu 13091   /๐‘’ cxdiv 32083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-xneg 13092  df-xmul 13094  df-xdiv 32084
This theorem is referenced by:  esumdivc  33081
  Copyright terms: Public domain W3C validator