Theorem xdivrec 33187

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11259	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 33183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 13328	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 13292	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 13313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 13292	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵)
16		xdivmul 33185	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulrid 13305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 33185	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  ℝ^*cxr 11242   ·_e cxmu 13136   /_𝑒 cxdiv 33177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-xneg 13137  df-xmul 13139  df-xdiv 33178

This theorem is referenced by:  esumdivc  34418