Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivrec 32360
Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
xdivrec ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))

Proof of Theorem xdivrec
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21rexrd 11268 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
3 simp1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
4 1xr 11277 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„*)
6 simp3 1136 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
75, 1, 6xdivcld 32356 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
83, 7xmulcld 13285 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„*)
9 xmulcom 13249 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต))
102, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต))
11 xmulass 13270 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)))
123, 7, 2, 11syl3anc 1369 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)))
13 xmulcom 13249 . . . . . . 7 (((1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„*) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
147, 2, 13syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
15 eqid 2730 . . . . . . 7 (1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต)
16 xdivmul 32358 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„* โˆง (1 /๐‘’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต) โ†” (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1))
175, 7, 1, 6, 16syl112anc 1372 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) = (1 /๐‘’ ๐ต) โ†” (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1))
1815, 17mpbii 232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) = 1)
1914, 18eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต) = 1)
2019oveq2d 7427 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe ((1 /๐‘’ ๐ต) ยทe ๐ต)) = (๐ด ยทe 1))
2110, 12, 203eqtrd 2774 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = (๐ด ยทe 1))
22 xmulrid 13262 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
233, 22syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยทe 1) = ๐ด)
2421, 23eqtrd 2770 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด)
25 xdivmul 32358 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โˆˆ โ„* โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โ†” (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด))
263, 8, 1, 6, 25syl112anc 1372 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)) โ†” (๐ต ยทe (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต))) = ๐ด))
2724, 26mpbird 256 1 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด /๐‘’ ๐ต) = (๐ด ยทe (1 /๐‘’ ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  โ„*cxr 11251   ยทe cxmu 13095   /๐‘’ cxdiv 32350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-xneg 13096  df-xmul 13098  df-xdiv 32351
This theorem is referenced by:  esumdivc  33379
  Copyright terms: Public domain W3C validator