Theorem xdivrec 33493

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 11368	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 33489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /e 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 13432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 13396	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 13417	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 13396	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵)
16		xdivmul 33491	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) = (1 /e 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /e 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /e 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulrid 13409	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 33491	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /e 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /e 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /e 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ℝ^*cxr 11342   ·_e cxmu 13240   /_e cxdiv 33483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-xneg 13241  df-xmul 13243  df-xdiv 33484

This theorem is used by:  esumdivc  34715