Theorem xdivrec 30373

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 10498	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 30369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 12509	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 12473	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 12494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1352	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 12473	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
15		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵)
16		xdivmul 30371	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 6990	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2811	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulid1 12486	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 30371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1355	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334  ℝ^*cxr 10471   ·_e cxmu 12321   /_𝑒 cxdiv 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-xneg 12322  df-xmul 12324  df-xdiv 30364

This theorem is referenced by:  esumdivc  31018