Theorem xdivrec 30605

Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xdivrec	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		1xr 10702	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
6		simp3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
7	5, 1, 6	xdivcld 30601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
8	3, 7	xmulcld 12698	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*)
9		xmulcom 12662	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
10	2, 8, 9	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
11		xmulass 12683	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
12	3, 7, 2, 11	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
13		xmulcom 12662	. . . . . . 7 ⊢ (((1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
14	7, 2, 13	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
15		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵)
16		xdivmul 30603	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
17	5, 7, 1, 6, 16	syl112anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
18	15, 17	mpbii 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1)
19	14, 18	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
20	19	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
21	10, 12, 20	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
22		xmulid1 12675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
23	3, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴)
25		xdivmul 30603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
26	3, 8, 1, 6, 25	syl112anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
27	24, 26	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ℝ^*cxr 10676   ·_e cxmu 12509   /_𝑒 cxdiv 30595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-xneg 12510  df-xmul 12512  df-xdiv 30596

This theorem is referenced by:  esumdivc  31344