Theorem le2halvesd 32661

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
le2halvesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
le2halvesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
le2halvesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
le2halvesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐶 / 2))
le2halvesd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 2))

Assertion

Ref	Expression
le2halvesd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem le2halvesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2halvesd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		le2halvesd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		le2halvesd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
5		le2halvesd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐶 / 2))
6		le2halvesd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 2))
7	1, 2, 4, 4, 5, 6	le2addd 11885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
8	3	recnd 11294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	2halvesd 12512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
10	7, 9	breqtrd 5181	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5155  (class class class)co 7426  ℝcr 11159   + caddc 11163   ≤ cle 11301   / cdiv 11923  2c2 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-2 12329

This theorem is referenced by: (None)