Theorem le2halvesd 29860

Description: A sum is less than the whole if each term is less than half. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
le2halvesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
le2halvesd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
le2halvesd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
le2halvesd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐶 / 2))
le2halvesd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 2))

Assertion

Ref	Expression
le2halvesd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶)

Proof of Theorem le2halvesd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2halvesd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		le2halvesd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		le2halvesd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 11481	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
5		le2halvesd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐶 / 2))
6		le2halvesd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝐶 / 2))
7	1, 2, 4, 4, 5, 6	le2addd 10848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
8	3	recnd 10270	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	2halvesd 11480	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
10	7, 9	breqtrd 4812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℝcr 10137   + caddc 10141   ≤ cle 10277   / cdiv 10886  2c2 11272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281

This theorem is referenced by: (None)