Theorem carsgsigalem 34465

Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
carsgsigalem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑓,𝑂,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem carsgsigalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 𝑒 = 𝑓)
2	1	uneq2d 4109	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑒) = (𝑒 ∪ 𝑓))
3		unidm 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∪ 𝑒) = 𝑒
4	2, 3	eqtr3di 2787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑓) = 𝑒)
5	4	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) = (𝑀‘𝑒))
6		iccssxr 13347	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝜑)
8		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
11	9, 10	ffvelcdmd 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
12	6, 11	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
14	1	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) = (𝑀‘𝑓))
15	14, 13	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*)
16		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
17	9, 16	ffvelcdmd 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
19		elxrge0 13374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)))
20	19	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
22		xraddge02 32820	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓))))
23	22	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
24	13, 15, 21, 23	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
25	5, 24	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
26		uniprg 4867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {𝑒, 𝑓} = (𝑒 ∪ 𝑓))
27	26	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
28	27	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
29		prct 32775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
30	29	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
31		prssi 4765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
32	31	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
33		prex 5373	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒, 𝑓} ∈ V
34		breq1 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑒, 𝑓} ≼ ω))
35		sseq1 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂))
36	34, 35	3anbi23d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)))
37		unieq 4862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑒, 𝑓})
38	37	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}))
39		esumeq1 34184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
40	38, 39	breq12d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
41	36, 40	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))))
42		carsgsiga.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
43	41, 42	vtoclg 3500	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒, 𝑓} ∈ V → ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
44	33, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
45	7, 30, 32, 44	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
46	28, 45	eqbrtrrd 5110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
48		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → 𝑦 = 𝑒)
49	48	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
50	49	adantlr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → 𝑦 = 𝑓)
52	51	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
53	52	adantlr 716	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
54	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
55	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
56	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
57	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
58		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ≠ 𝑓)
59	50, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 34216	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
60	47, 59	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
61	25, 60	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≼ cdom 8882  0cc0 11027  +∞cpnf 11164  ℝ^*cxr 11166   ≤ cle 11168   +_𝑒 cxad 13025  [,]cicc 13265  Σ^*cesum 34177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-ordt 17423  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-ps 18490  df-tsr 18491  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-abv 20744  df-lmod 20815  df-scaf 20816  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-tmd 24015  df-tgp 24016  df-tsms 24070  df-trg 24103  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-nm 24525  df-ngp 24526  df-nrg 24528  df-nlm 24529  df-ii 24822  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-esum 34178

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  34466  carsgclctunlem3  34470