Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgsigalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgsigalem 31600
Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
Assertion
Ref Expression
carsgsigalem ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑓,𝑂,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem carsgsigalem
StepHypRef Expression
1 unidm 4114 . . . . 5 (𝑒𝑒) = 𝑒
2 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 𝑒 = 𝑓)
32uneq2d 4125 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒𝑒) = (𝑒𝑓))
41, 3syl5reqr 2874 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒𝑓) = 𝑒)
54fveq2d 6663 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) = (𝑀𝑒))
6 iccssxr 12815 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝜑)
8 carsgval.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
119, 10ffvelrnd 6841 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
126, 11sseldi 3951 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
1312adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
142fveq2d 6663 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) = (𝑀𝑓))
1514, 13eqeltrrd 2917 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ ℝ*)
16 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
179, 16ffvelrnd 6841 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
1817adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
19 elxrge0 12842 . . . . . 6 ((𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀𝑓)))
2019simprbi 500 . . . . 5 ((𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀𝑓))
2118, 20syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 0 ≤ (𝑀𝑓))
22 xraddge02 30486 . . . . 5 (((𝑀𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑓) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀𝑓) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓))))
2322imp 410 . . . 4 ((((𝑀𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝑓) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝑀𝑓)) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
2413, 15, 21, 23syl21anc 836 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀𝑒) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
255, 24eqbrtrd 5075 . 2 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
26 uniprg 4843 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} = (𝑒𝑓))
2726fveq2d 6663 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒𝑓)))
28273adant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒𝑓)))
29 prct 30456 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
30293adant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
31 prssi 4739 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
32313adant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
33 prex 5321 . . . . . . 7 {𝑒, 𝑓} ∈ V
34 breq1 5056 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑒, 𝑓} ≼ ω))
35 sseq1 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂))
3634, 353anbi23d 1436 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)))
37 unieq 4836 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → 𝑥 = {𝑒, 𝑓})
3837fveq2d 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑀 𝑥) = (𝑀 {𝑒, 𝑓}))
39 esumeq1 31320 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4038, 39breq12d 5066 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦) ↔ (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦)))
4136, 40imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))))
42 carsgsiga.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
4341, 42vtoclg 3553 . . . . . . 7 ({𝑒, 𝑓} ∈ V → ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦)))
4433, 43ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
457, 30, 32, 44syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀 {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4628, 45eqbrtrrd 5077 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
4746adantr 484 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦))
48 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → 𝑦 = 𝑒)
4948fveq2d 6663 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑒))
5049adantlr 714 . . . 4 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑒))
51 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → 𝑦 = 𝑓)
5251fveq2d 6663 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑓))
5352adantlr 714 . . . 4 ((((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀𝑦) = (𝑀𝑓))
5410adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
5516adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
5611adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
5717adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀𝑓) ∈ (0[,]+∞))
58 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → 𝑒𝑓)
5950, 53, 54, 55, 56, 57, 58esumpr 31352 . . 3 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀𝑦) = ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
6047, 59breqtrd 5079 . 2 (((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒𝑓) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
6125, 60pm2.61dane 3101 1 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑓)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  Vcvv 3480  cun 3917  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522  {cpr 4552   cuni 4825   class class class wbr 5053  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  ωcom 7571  cdom 8499  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  *cxr 10668  cle 10670   +𝑒 cxad 12500  [,]cicc 12736  Σ*cesum 31313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14424  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-limsup 14826  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-ef 15419  df-sin 15421  df-cos 15422  df-pi 15424  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-ordt 16772  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-ps 17808  df-tsr 17809  df-plusf 17849  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-mulg 18223  df-subg 18274  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-subrg 19528  df-abv 19583  df-lmod 19631  df-scaf 19632  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-tmd 22675  df-tgp 22676  df-tsms 22730  df-trg 22763  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-nm 23187  df-ngp 23188  df-nrg 23190  df-nlm 23191  df-ii 23480  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-esum 31314
This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  31601  carsgclctunlem3  31605
  Copyright terms: Public domain W3C validator