Theorem carsgsigalem 34671

Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
carsgsigalem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑓,𝑂,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem carsgsigalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 𝑒 = 𝑓)
2	1	uneq2d 4121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑒) = (𝑒 ∪ 𝑓))
3		unidm 4110	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∪ 𝑒) = 𝑒
4	2, 3	eqtr3di 2811	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑓) = 𝑒)
5	4	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) = (𝑀‘𝑒))
6		iccssxr 13456	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7		simp1 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝜑)
8		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
11	9, 10	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
12	6, 11	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
14	1	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) = (𝑀‘𝑓))
15	14, 13	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*)
16		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
17	9, 16	ffvelcdmd 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
19		elxrge0 13483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)))
20	19	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
21	18, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
22		xraddge02 33068	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓))))
23	22	imp 411	. . . 4 ⊢ ((((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
24	13, 15, 21, 23	syl21anc 850	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
25	5, 24	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
26		uniprg 4887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {𝑒, 𝑓} = (𝑒 ∪ 𝑓))
27	26	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
28	27	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
29		prct 33024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
30	29	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
31		prssi 4786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
32	31	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
33		prex 5409	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒, 𝑓} ∈ V
34		breq1 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑒, 𝑓} ≼ ω))
35		sseq1 3961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂))
36	34, 35	3anbi23d 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)))
37		unieq 4882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑒, 𝑓})
38	37	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}))
39		esumeq1 34390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
40	38, 39	breq12d 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
41	36, 40	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))))
42		carsgsiga.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
43	41, 42	vtoclg 3521	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒, 𝑓} ∈ V → ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
44	33, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
45	7, 30, 32, 44	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
46	28, 45	eqbrtrrd 5134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
47	46	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
48		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → 𝑦 = 𝑒)
49	48	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
50	49	adantlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
51		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → 𝑦 = 𝑓)
52	51	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
53	52	adantlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
54	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
55	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
56	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
57	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
58		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ≠ 𝑓)
59	50, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 34422	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
60	47, 59	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
61	25, 60	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5108  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7861   ≼ cdom 8940  0cc0 11099  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243   +_𝑒 cxad 13134  [,]cicc 13374  Σ^*cesum 34383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-ordt 17554  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-ps 18621  df-tsr 18622  df-plusf 18696  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-abv 20891  df-lmod 20962  df-scaf 20963  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-tmd 24208  df-tgp 24209  df-tsms 24263  df-trg 24296  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-nm 24718  df-ngp 24719  df-nrg 24721  df-nlm 24722  df-ii 25015  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-esum 34384

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  34672  carsgclctunlem3  34676