Theorem carsgsigalem 34300

Description: Lemma for the following theorems. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
carsgsigalem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑀   𝑒,𝑂   𝜑,𝑒,𝑓,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑓,𝑂,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem carsgsigalem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 𝑒 = 𝑓)
2	1	uneq2d 4127	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑒) = (𝑒 ∪ 𝑓))
3		unidm 4116	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∪ 𝑒) = 𝑒
4	2, 3	eqtr3di 2779	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑒 ∪ 𝑓) = 𝑒)
5	4	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) = (𝑀‘𝑒))
6		iccssxr 13369	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝜑)
8		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
10		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
11	9, 10	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
12	6, 11	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
14	1	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) = (𝑀‘𝑓))
15	14, 13	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*)
16		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
17	9, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
19		elxrge0 13396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)))
20	19	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
21	18, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → 0 ≤ (𝑀‘𝑓))
22		xraddge02 32731	. . . . 5 ⊢ (((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓))))
23	22	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝑓) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ (𝑀‘𝑓)) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
24	13, 15, 21, 23	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
25	5, 24	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 = 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
26		uniprg 4883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → ∪ {𝑒, 𝑓} = (𝑒 ∪ 𝑓))
27	26	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
28	27	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) = (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)))
29		prct 32689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
30	29	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ≼ ω)
31		prssi 4781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
32	31	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)
33		prex 5387	. . . . . . 7 ⊢ {𝑒, 𝑓} ∈ V
34		breq1 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑒, 𝑓} ≼ ω))
35		sseq1 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂))
36	34, 35	3anbi23d 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) ↔ (𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂)))
37		unieq 4878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ∪ 𝑥 = ∪ {𝑒, 𝑓})
38	37	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (𝑀‘∪ 𝑥) = (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}))
39		esumeq1 34018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
40	38, 39	breq12d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → ((𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦) ↔ (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
41	36, 40	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑒, 𝑓} → (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))))
42		carsgsiga.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
43	41, 42	vtoclg 3517	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑒, 𝑓} ∈ V → ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦)))
44	33, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝑒, 𝑓} ≼ ω ∧ {𝑒, 𝑓} ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
45	7, 30, 32, 44	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ {𝑒, 𝑓}) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
46	28, 45	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
47	46	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦))
48		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → 𝑦 = 𝑒)
49	48	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
50	49	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑒) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑒))
51		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → 𝑦 = 𝑓)
52	51	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
53	52	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) ∧ 𝑦 = 𝑓) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑓))
54	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
55	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂)
56	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
57	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞))
58		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → 𝑒 ≠ 𝑓)
59	50, 53, 54, 55, 56, 57, 58	esumpr 34050	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → Σ*𝑦 ∈ {𝑒, 𝑓} (𝑀‘𝑦) = ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
60	47, 59	breqtrd 5128	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) ∧ 𝑒 ≠ 𝑓) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))
61	25, 60	pm2.61dane 3012	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑓)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {cpr 4587  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ωcom 7822   ≼ cdom 8893  0cc0 11046  +∞cpnf 11183  ℝ^*cxr 11185   ≤ cle 11187   +_𝑒 cxad 13048  [,]cicc 13287  Σ^*cesum 34011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9832  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-ioo 13288  df-ioc 13289  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-mod 13810  df-seq 13945  df-exp 14005  df-fac 14217  df-bc 14246  df-hash 14274  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17362  df-topn 17363  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-pt 17384  df-prds 17387  df-ordt 17441  df-xrs 17442  df-qtop 17447  df-imas 17448  df-xps 17450  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-ps 18508  df-tsr 18509  df-plusf 18549  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-cring 20157  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-abv 20730  df-lmod 20801  df-scaf 20802  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-lp 23057  df-perf 23058  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-haus 23236  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-tmd 23993  df-tgp 23994  df-tsms 24048  df-trg 24081  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-ii 24804  df-cncf 24805  df-limc 25801  df-dv 25802  df-log 26499  df-esum 34012

This theorem is referenced by:  fiunelcarsg  34301  carsgclctunlem3  34305