Theorem 1p1e2c 6155

Description: One plus one equals two. Theorem *110.64 of [WhiteheadRussell] p. 86. This theorem is occasionally useful. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1p1e2c	⊢ (1c +c 1c) = 2c

Proof of Theorem 1p1e2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4110	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		n0i 3555	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → ¬ V = ∅)
3	1, 2	ax-mp 8	. . . . 5 ⊢ ¬ V = ∅
4		vvex 4109	. . . . . 6 ⊢ V ∈ V
5	4	elsnc 3756	. . . . 5 ⊢ (V ∈ {∅} ↔ V = ∅)
6	3, 5	mtbir 290	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ {∅}
7		disjsn 3786	. . . 4 ⊢ (({∅} ∩ {V}) = ∅ ↔ ¬ V ∈ {∅})
8	6, 7	mpbir 200	. . 3 ⊢ ({∅} ∩ {V}) = ∅
9		snex 4111	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
10		snex 4111	. . . 4 ⊢ {V} ∈ V
11	9, 10	ncdisjun 6136	. . 3 ⊢ (({∅} ∩ {V}) = ∅ → Nc ({∅} ∪ {V}) = ( Nc {∅} +c Nc {V}))
12	8, 11	ax-mp 8	. 2 ⊢ Nc ({∅} ∪ {V}) = ( Nc {∅} +c Nc {V})
13		df-2c 6104	. . 3 ⊢ 2c = Nc {∅, V}
14		df-pr 3742	. . . 4 ⊢ {∅, V} = ({∅} ∪ {V})
15	14	nceqi 6109	. . 3 ⊢ Nc {∅, V} = Nc ({∅} ∪ {V})
16	13, 15	eqtri 2373	. 2 ⊢ 2c = Nc ({∅} ∪ {V})
17	1	df1c3 6140	. . 3 ⊢ 1c = Nc {∅}
18	4	df1c3 6140	. . 3 ⊢ 1c = Nc {V}
19	17, 18	addceq12i 4388	. 2 ⊢ (1c +c 1c) = ( Nc {∅} +c Nc {V})
20	12, 16, 19	3eqtr4ri 2384	1 ⊢ (1c +c 1c) = 2c

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  {csn 3737  {cpr 3738  1_cc1c 4134   +_c cplc 4375   Nc cnc 6091  2_cc2c 6094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104

This theorem is referenced by:  tc2c  6166  2nnc  6167  el2c  6191  2ne0c  6242  nncdiv3  6277  nnc3n3p2  6279  nnc3p1n3p2  6280  nchoicelem1  6289  nchoicelem2  6290  nchoicelem9  6297  nchoicelem17  6305