Theorem 1p1e2c 6156

Description: One plus one equals two. Theorem *110.64 of [WhiteheadRussell] p. 86. This theorem is occasionally useful. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1p1e2c	⊢ (1c +c 1c) = 2c

Proof of Theorem 1p1e2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4111	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		n0i 3556	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → ¬ V = ∅)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ V = ∅
4		vvex 4110	. . . . . 6 ⊢ V ∈ V
5	4	elsnc 3757	. . . . 5 ⊢ (V ∈ {∅} ↔ V = ∅)
6	3, 5	mtbir 290	. . . 4 ⊢ ¬ V ∈ {∅}
7		disjsn 3787	. . . 4 ⊢ (({∅} ∩ {V}) = ∅ ↔ ¬ V ∈ {∅})
8	6, 7	mpbir 200	. . 3 ⊢ ({∅} ∩ {V}) = ∅
9		snex 4112	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
10		snex 4112	. . . 4 ⊢ {V} ∈ V
11	9, 10	ncdisjun 6137	. . 3 ⊢ (({∅} ∩ {V}) = ∅ → Nc ({∅} ∪ {V}) = ( Nc {∅} +c Nc {V}))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ Nc ({∅} ∪ {V}) = ( Nc {∅} +c Nc {V})
13		df-2c 6105	. . 3 ⊢ 2c = Nc {∅, V}
14		df-pr 3743	. . . 4 ⊢ {∅, V} = ({∅} ∪ {V})
15	14	nceqi 6110	. . 3 ⊢ Nc {∅, V} = Nc ({∅} ∪ {V})
16	13, 15	eqtri 2373	. 2 ⊢ 2c = Nc ({∅} ∪ {V})
17	1	df1c3 6141	. . 3 ⊢ 1c = Nc {∅}
18	4	df1c3 6141	. . 3 ⊢ 1c = Nc {V}
19	17, 18	addceq12i 4389	. 2 ⊢ (1c +c 1c) = ( Nc {∅} +c Nc {V})
20	12, 16, 19	3eqtr4ri 2384	1 ⊢ (1c +c 1c) = 2c

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3551  {csn 3738  {cpr 3739  1_cc1c 4135   +_c cplc 4376   Nc cnc 6092  2_cc2c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102  df-2c 6105

This theorem is referenced by:  tc2c  6167  2nnc  6168  el2c  6192  2ne0c  6243  nncdiv3  6278  nnc3n3p2  6280  nnc3p1n3p2  6281  nchoicelem1  6290  nchoicelem2  6291  nchoicelem9  6298  nchoicelem17  6306