New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  pw1fnex GIF version

Theorem pw1fnex 5852
 Description: The unit power class function is a set. (Contributed by SF, 25-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pw1fnex Pw1Fn V

Proof of Theorem pw1fnex
Dummy variables x y t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pw1fn 5766 . . 3 Pw1Fn = (x 1c 1x)
2 oteltxp 5782 . . . . . . . 8 ({{t}}, {y}, x ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) ↔ ({{t}}, {y} I {{t}}, x (( SI S S ) “ 1c)))
3 snex 4111 . . . . . . . . . . 11 {y} V
43ideq 4870 . . . . . . . . . 10 ({{t}} I {y} ↔ {{t}} = {y})
5 df-br 4640 . . . . . . . . . 10 ({{t}} I {y} ↔ {{t}}, {y} I )
6 eqcom 2355 . . . . . . . . . . 11 ({{t}} = {y} ↔ {y} = {{t}})
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . 12 y V
87sneqb 3876 . . . . . . . . . . 11 ({y} = {{t}} ↔ y = {t})
96, 8bitri 240 . . . . . . . . . 10 ({{t}} = {y} ↔ y = {t})
104, 5, 93bitr3i 266 . . . . . . . . 9 ({{t}}, {y} I ↔ y = {t})
11 oteltxp 5782 . . . . . . . . . . . 12 ({y}, {{t}}, x ( SI S S ) ↔ ({y}, {{t}} SI S {y}, x S ))
12 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15 {t} V
137, 12brsnsi 5773 . . . . . . . . . . . . . 14 ({y} SI S {{t}} ↔ y S {t})
14 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . 14 ({y} SI S {{t}} ↔ {y}, {{t}} SI S )
15 brcnv 4892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y S {t} ↔ {t} S y)
16 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t V
1716, 7brssetsn 4759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({t} S yt y)
1815, 17bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (y S {t} ↔ t y)
1913, 14, 183bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . 13 ({y}, {{t}} SI S t y)
20 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 x V
217, 20opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . 13 ({y}, x S y x)
2219, 21anbi12i 678 . . . . . . . . . . . 12 (({y}, {{t}} SI S {y}, x S ) ↔ (t y y x))
2311, 22bitri 240 . . . . . . . . . . 11 ({y}, {{t}}, x ( SI S S ) ↔ (t y y x))
2423exbii 1582 . . . . . . . . . 10 (y{y}, {{t}}, x ( SI S S ) ↔ y(t y y x))
25 elima1c 4947 . . . . . . . . . 10 ({{t}}, x (( SI S S ) “ 1c) ↔ y{y}, {{t}}, x ( SI S S ))
26 eluni 3894 . . . . . . . . . 10 (t xy(t y y x))
2724, 25, 263bitr4i 268 . . . . . . . . 9 ({{t}}, x (( SI S S ) “ 1c) ↔ t x)
2810, 27anbi12i 678 . . . . . . . 8 (({{t}}, {y} I {{t}}, x (( SI S S ) “ 1c)) ↔ (y = {t} t x))
292, 28bitri 240 . . . . . . 7 ({{t}}, {y}, x ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) ↔ (y = {t} t x))
30 ancom 437 . . . . . . 7 ((y = {t} t x) ↔ (t x y = {t}))
3129, 30bitri 240 . . . . . 6 ({{t}}, {y}, x ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) ↔ (t x y = {t}))
3231exbii 1582 . . . . 5 (t{{t}}, {y}, x ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) ↔ t(t x y = {t}))
33 elimapw11c 4948 . . . . 5 ({y}, x (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c) ↔ t{{t}}, {y}, x ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)))
34 elpw1 4144 . . . . . 6 (y 1xt xy = {t})
35 df-rex 2620 . . . . . 6 (t xy = {t} ↔ t(t x y = {t}))
3634, 35bitri 240 . . . . 5 (y 1xt(t x y = {t}))
3732, 33, 363bitr4i 268 . . . 4 ({y}, x (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c) ↔ y 1x)
3837releqmpt 5808 . . 3 ((1c × V) ∩ ∼ (( Ins3 S Ins2 (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c)) “ 1c)) = (x 1c 1x)
391, 38eqtr4i 2376 . 2 Pw1Fn = ((1c × V) ∩ ∼ (( Ins3 S Ins2 (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c)) “ 1c))
40 1cex 4142 . . 3 1c V
41 idex 5504 . . . . 5 I V
42 ssetex 4744 . . . . . . . . 9 S V
4342cnvex 5102 . . . . . . . 8 S V
4443siex 4753 . . . . . . 7 SI S V
4544, 42txpex 5785 . . . . . 6 ( SI S S ) V
4645, 40imaex 4747 . . . . 5 (( SI S S ) “ 1c) V
4741, 46txpex 5785 . . . 4 ( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) V
4840pw1ex 4303 . . . 4 11c V
4947, 48imaex 4747 . . 3 (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c) V
5040, 49mptexlem 5810 . 2 ((1c × V) ∩ ∼ (( Ins3 S Ins2 (( I ⊗ (( SI S S ) “ 1c)) “ 11c)) “ 1c)) V
5139, 50eqeltri 2423 1 Pw1Fn V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∩ cin 3208   ⊕ csymdif 3209  {csn 3737  ∪cuni 3891  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135  ⟨cop 4561   class class class wbr 4639   S csset 4719   SI csi 4720   “ cima 4722   I cid 4763   × cxp 4770  ◡ccnv 4771   ↦ cmpt 5651   ⊗ ctxp 5735   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751   Pw1Fn cpw1fn 5765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-mpt 5652  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-pw1fn 5766 This theorem is referenced by:  enpw1pw  6075  ovcelem1  6171  ceex  6174  tcfnex  6244
 Copyright terms: Public domain W3C validator