ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodabs GIF version

Theorem fprodabs 11626
Description: The absolute value of a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 25-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
fprodabs.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
fprodabs.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodabs (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodabs
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodabs.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
2 fprodabs.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
31, 2eleqtrdi 2270 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘€))
54prodeq1d 11574 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด)
65fveq2d 5521 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด))
74prodeq1d 11574 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))
86, 7eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด)))
98imbi2d 230 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))))
10 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘›))
1110prodeq1d 11574 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด)
1211fveq2d 5521 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด))
1310prodeq1d 11574 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))
1412, 13eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)))
1514imbi2d 230 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘› โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))))
16 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...(๐‘› + 1)))
1716prodeq1d 11574 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด)
1817fveq2d 5521 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด))
1916prodeq1d 11574 . . . . 5 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))
2018, 19eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด)))
2120imbi2d 230 . . 3 (๐‘Ž = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
22 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘€...๐‘Ž) = (๐‘€...๐‘))
2322prodeq1d 11574 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด)
2423fveq2d 5521 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด))
2522prodeq1d 11574 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
2624, 25eqeq12d 2192 . . . 4 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด)))
2726imbi2d 230 . . 3 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘Ž)(absโ€˜๐ด)) โ†” (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))))
28 csbfv2g 5554 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
2928adantl 277 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
30 fzsn 10068 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€...๐‘€) = {๐‘€})
3130adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€...๐‘€) = {๐‘€})
3231prodeq1d 11574 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด))
33 simpr 110 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
34 uzid 9544 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3534, 2eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘)
36 fprodabs.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3736ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚)
38 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด
3938nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
40 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
4140eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
4239, 41rspc 2837 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
4337, 42mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4435, 43sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4544abscld 11192 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) โˆˆ โ„)
4645recnd 7988 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4729, 46eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 prodsns 11613 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
4933, 47, 48syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€} (absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
5032, 49eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด) = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
5130prodeq1d 11574 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด)
5251adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด)
53 prodsns 11613 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5433, 44, 53syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5552, 54eqtrd 2210 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
5655fveq2d 5521 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = (absโ€˜โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
5729, 50, 563eqtr4rd 2221 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด))
5857expcom 116 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘€)(absโ€˜๐ด)))
59 simp3 999 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด))
60 peano2uz 9585 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
61 csbfv2g 5554 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
6260, 61syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด) = (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
6362eqcomd 2183 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
64633ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด))
6559, 64oveq12d 5895 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
66 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
67 elfzuz 10023 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6867, 2eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
6968, 36sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7069adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7166, 70fprodp1s 11612 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
7271fveq2d 5521 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
73 eluzel2 9535 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7473adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
75 eluzelz 9539 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
7774, 76fzfigd 10433 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘€...๐‘›) โˆˆ Fin)
78 elfzuz 10023 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
7978, 2eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
8079, 36sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8180adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8277, 81fprodcl 11617 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด โˆˆ โ„‚)
8360, 2eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘)
84 nfcsb1v 3092 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด
8584nfel1 2330 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
86 csbeq1a 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ ๐ด = โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
8786eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
8885, 87rspc 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
8937, 88mpan9 281 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
9083, 89sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
9182, 90absmuld 11205 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
9272, 91eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
93923adant3 1017 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) ยท (absโ€˜โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)))
9470abscld 11192 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9594recnd 7988 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9666, 95fprodp1s 11612 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
97963adant3 1017 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) ยท โฆ‹(๐‘› + 1) / ๐‘˜โฆŒ(absโ€˜๐ด)))
9865, 93, 973eqtr4d 2220 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))
99983exp 1202 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
10099com12 30 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
101100a2d 26 . . 3 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘›)(absโ€˜๐ด)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘› + 1))(absโ€˜๐ด))))
1029, 15, 21, 27, 58, 101uzind4 9590 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด)))
1033, 102mpcom 36 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)(absโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โฆ‹csb 3059  {csn 3594  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010  abscabs 11008  โˆcprod 11560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator