Theorem gsumsubmclfi 14140

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubmclfi.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsubmclfi.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsubmclfi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumsubmclfi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumsubmclfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gsumsubmclfi	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumsubmclfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsubmclfi.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
2	1	ffnd 5529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnresdm 5487	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
5	4	oveq2d 6091	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg 𝐹))
6		reseq2 5053	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ ∅))
7	6	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)))
8	7	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝑆))
9		reseq2 5053	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝑦))
10	9	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)))
11	10	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆))
12		reseq2 5053	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})))
13	12	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))))
14	13	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝑆))
15		reseq2 5053	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝑤) = (𝐹 ↾ 𝐴))
16	15	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)))
17	16	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑤)) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝑆))
18		gsumsubmclfi.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
19		gsum0cmn 14131	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
21		res0 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
22	21	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = (𝐺 Σg ∅)
23		gsumsubmclfi.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
24	20, 22, 23	3eqtr4g 2296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) = 0 )
25		gsumsubmclfi.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
26	23	subm0cl 13762	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 ∈ 𝑆)
27	25, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
28	24, 27	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ∅)) ∈ 𝑆)
29	25	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
30		ssun1 3392	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
31		resabs1 5087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ 𝑦)
33	32	oveq2i 6086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦))
34		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
35	33, 34	eqeltrid 2325	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆)
36		ssun2 3393	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
37		vsnid 3737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ {𝑧}
38	36, 37	sselii 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})
39		fvres 5714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)
41	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
42		simprr 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
43	42	eldifad 3231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
44	41, 43	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
45	40, 44	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝑆)
46	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝑆)
47		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
48	47	submcl 13763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧) ∈ 𝑆) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝑆)
49	29, 35, 46, 48	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝑆)
50		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
51	18	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐺 ∈ CMnd)
52	50	submss 13760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
53	25, 52	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
55	41, 54	fssd 5542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝐹:𝐴⟶(Base‘𝐺))
56		simprl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
57	43	snssd 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
58	56, 57	unssd 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
59	55, 58	fssresd 5561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})):(𝑦 ∪ {𝑧})⟶(Base‘𝐺))
60		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
61	42	eldifbd 3232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
62	50, 47, 51, 59, 60, 43, 61	gsump1 14134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)))
63	62	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝑆))
64	63	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧})) ↾ 𝑦))(+g‘𝐺)((𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))‘𝑧)) ∈ 𝑆))
65	49, 64	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝑆)
66	65	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑆 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ 𝑆))
67		gsumsubmclfi.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
68	8, 11, 14, 17, 28, 66, 67	findcard2sd 7186	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) ∈ 𝑆)
69	5, 68	eqeltrrd 2316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3705   ↾ cres 4771   Fn wfn 5367  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  0_gc0g 13587  SubMndcsubmnd 13742  CMndccmn 14064   Σ_g cgsu 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-0g 13589  df-gzsum 13590  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-submnd 13744  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-cmn 14066  df-gsumfi 14128

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  16105