Theorem nninfctlemfo 12177

Description: Lemma for nninfct 12178. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfct.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
nninfct.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
nninfct.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
nninfctlemfo	|- ( om e. Omni -> I :NN0* -onto->ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, G, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x)   I( x, i, n)

Proof of Theorem nninfctlemfo

Dummy variables k m z j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfct.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		nninfct.f	. . . 4 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3		nninfct.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	fxnn0nninf 10510	. . 3 |- I :NN0* -->ℕ∞
5	4	a1i 9	. 2 |- ( om e. Omni -> I :NN0* -->ℕ∞ )
6		ssrab2 3264	. . . . . . . . 9 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } C_ ( ZZ>= ` 0 )
7		nn0uz 9627	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
8		nn0ssxnn0 9306	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ NN0*
9	7, 8	eqsstrri 3212	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ NN0*
10	6, 9	sstri 3188	. . . . . . . 8 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } C_ NN0*
11		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> 0 e. ZZ )
12		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } = { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) }
13		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( G ` j ) -> ( `' G ` m ) = ( `' G ` ( G ` j ) ) )
14	13	fveqeq2d 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( G ` j ) -> ( ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = (/) ) )
15		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> j e. om )
16	11, 1, 15	frec2uzuzd 10473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G ` j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17	11, 1	frec2uzf1od 10477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
18		f1ocnvfv1 5820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ j e. om ) -> ( `' G ` ( G ` j ) ) = j )
19	17, 15, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( `' G ` ( G ` j ) ) = j )
20	19	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = ( y ` j ) )
21		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` j ) = (/) )
22	20, 21	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = (/) )
23	14, 16, 22	elrabd 2918	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G ` j ) e. { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } )
24		nninff 7181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
25		2ssom 6577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o C_ om
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ℕ∞ -> 2o C_ om )
27	24, 26	fssd 5416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> om )
28	27	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> y : om --> om )
29		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
30		f1ocnvdm 5824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
31	17, 29, 30	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
32	28, 31	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om )
33		peano1 4626	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
34		nndceq 6552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
35	32, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
36	11, 12, 23, 35	infssuzcldc 12088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } )
37	10, 36	sselid 3177	. . . . . . 7 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0* )
38	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> y : om --> 2o )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y : om --> 2o )
40	39	ffnd 5404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y Fn om )
41	4	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> I :NN0* -->ℕ∞ )
42	41, 37	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. ℕ∞ )
43		nninff 7181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. ℕ∞ -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) : om --> 2o )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) : om --> 2o )
45	44	ffnd 5404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) Fn om )
46		2fveq3 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` m ) ) )
47	46	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) ) )
48	47	cbvrabv 2759	. . . . . . . . . . . . 13 |- { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } = { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) }
49	48	infeq1i 7072	. . . . . . . . . . . 12 |- inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < )
50	49	fveq2i 5557	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
51	50	eleq2i 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
53	52, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
54	53	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
55	3	fveq1i 5555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
56	6, 36	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57	56, 7	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
58	57	nn0nepnfd 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) =/= +oo )
59	58	necomd 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> +oo =/= inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
60		fvunsng 5752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 /\ +oo =/= inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
62	55, 61	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
63		dff1o4 5508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( G Fn om /\ `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) ) )
64	17, 63	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G Fn om /\ `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) ) )
65	64	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
66		fvco2 5626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
67	65, 56, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
68		eleq2 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( i e. n <-> i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
69	68	ifbid 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
70	69	mpteq2dv 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
71		f1ocnvdm 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
72	17, 56, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
73		omex 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- om e. _V
74	73	mptex 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) e. _V
75	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) e. _V )
76	2, 70, 72, 75	fvmptd3 5651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
77	62, 67, 76	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
78	77	fveq1d 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) )
80		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
81		eleq1w 2254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = k -> ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
82	81	ifbid 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
83		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> k e. om )
84		1lt2o 6495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. 2o
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> 1o e. 2o )
86		0lt2o 6494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. 2o
87	86	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> (/) e. 2o )
88	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
89		nndcel 6553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. om /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om ) -> DECID k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
90	83, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> DECID k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
91	85, 87, 90	ifcldcd 3593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) e. 2o )
92	80, 82, 83, 91	fvmptd3 5651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
93	79, 92	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
95		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> 0 e. ZZ )
96		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. om )
97	50, 88	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
99	95, 1, 96, 98	frec2uzlt2d 10475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> ( G ` k ) < ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) ) )
100	52, 99	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
101	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
102	49, 56	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
103	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
104		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
105	101, 103, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
106	100, 105	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
107	49, 57	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
108	107	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
109	108	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. RR )
110		elrabi 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111	110, 7	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> ( G ` k ) e. NN0 )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. NN0 )
113	112	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. RR )
114		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> 0 e. ZZ )
115		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
116	39	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> y : om --> 2o )
117	17	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
118		elfzuz 10087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
119	118	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
120	117, 119, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
121	116, 120	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. 2o )
122	25, 121	sselid 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om )
123	122, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
124	114, 48, 115, 123	infssuzledc 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) <_ ( G ` k ) )
125	109, 113, 124	lensymd 8141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> -. ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
126	125	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> -. ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
127	106, 126	mt2d 626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
128		2fveq3 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( G ` k ) -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) )
129	128	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( G ` k ) -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
130	129	elrab 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> ( ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
131		f1of 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> G : om --> ( ZZ>= ` 0 ) )
132	17, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> G : om --> ( ZZ>= ` 0 ) )
133	132	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	133	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) <-> ( ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) ) )
135	130, 134	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
136	135	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
138	127, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) )
139		f1ocnvfv1 5820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` ( G ` k ) ) = k )
140	17, 139	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` ( G ` k ) ) = k )
141	140	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = ( y ` k ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = ( y ` k ) )
143	142	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) <-> ( y ` k ) = (/) ) )
144	138, 143	mtbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( y ` k ) = (/) )
145	39	ffvelcdmda 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) e. 2o )
146		df2o3 6483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = { (/) , 1o }
147	145, 146	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) e. { (/) , 1o } )
148		elpri 3641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ` k ) e. { (/) , 1o } -> ( ( y ` k ) = (/) \/ ( y ` k ) = 1o ) )
149	147, 148	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` k ) = (/) \/ ( y ` k ) = 1o ) )
150	149	orcomd 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` k ) = 1o \/ ( y ` k ) = (/) ) )
151	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( y ` k ) = 1o \/ ( y ` k ) = (/) ) )
152	144, 151	ecased 1360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = 1o )
153	54, 94, 152	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
154	51, 153	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
155		ssnel 4601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k -> -. k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
156	155	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> -. k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
157	156	iffalsed 3567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = (/) )
158	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
159		simp-4r 542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> y e. ℕ∞ )
160	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
161		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> k e. om )
162		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k )
163	36, 48	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
164		2fveq3 5559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
165	164	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
166	165	elrab 2916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
167	163, 166	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
168	167	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) )
169	168	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) )
170	159, 160, 161, 162, 169	nninfninc 7182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` k ) = (/) )
171	157, 158, 170	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
172		nntri3or 6546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) )
173	83, 88, 172	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) )
174		3orass 983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) <-> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) )
175	173, 174	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) )
176		eqimss2 3234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k )
177	176	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
178		nnon 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> k e. On )
179		onelss 4418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. On -> ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
181	177, 180	jaod 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
182	181	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
183	182	orim2d 789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) ) )
184	175, 183	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
185	154, 171, 184	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
186	40, 45, 185	eqfnfvd 5658	. . . . . . 7 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
187		fveq2 5554	. . . . . . . 8 |- ( z = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( I ` z ) = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
188	187	rspceeqv 2882	. . . . . . 7 |- ( (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0* /\ y = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
189	37, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
190	189	rexlimdvaa 2612	. . . . 5 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) ) )
191	190	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ E. j e. om ( y ` j ) = (/) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
192		pnf0xnn0 9310	. . . . 5 |- +oo e. NN0*
193	24	ffnd 5404	. . . . . . 7 |- ( y e. ℕ∞ -> y Fn om )
194	193	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> y Fn om )
195		1oex 6477	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
196	1, 2, 3	inftonninf 10513	. . . . . . . 8 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )
197	195, 196	fnmpti 5382	. . . . . . 7 |- ( I ` +oo ) Fn om
198	197	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> ( I ` +oo ) Fn om )
199		fveqeq2 5563	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( y ` j ) = 1o <-> ( y ` k ) = 1o ) )
200		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> A. j e. om ( y ` j ) = 1o )
201		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> k e. om )
202	199, 200, 201	rspcdva 2869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = 1o )
203		eqidd 2194	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> 1o = 1o )
204	203, 196, 195	fvmpt 5634	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( ( I ` +oo ) ` k ) = 1o )
205	204	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` +oo ) ` k ) = 1o )
206	202, 205	eqtr4d 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` +oo ) ` k ) )
207	194, 198, 206	eqfnfvd 5658	. . . . 5 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> y = ( I ` +oo ) )
208		fveq2 5554	. . . . . 6 |- ( z = +oo -> ( I ` z ) = ( I ` +oo ) )
209	208	rspceeqv 2882	. . . . 5 |- ( ( +oo e. NN0* /\ y = ( I ` +oo ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
210	192, 207, 209	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
211		isomni 7195	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( om e. Omni <-> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) ) )
212	73, 211	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( om e. Omni <-> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
213	212	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
214	213	19.21bi 1569	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
215	214, 24	impel 280	. . . 4 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) )
216	191, 210, 215	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
217	216	ralrimiva 2567	. 2 |- ( om e. Omni -> A. y e. ℕ∞ E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
218		dffo3 5705	. 2 |- ( I :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( I :NN0* -->ℕ∞ /\ A. y e. ℕ∞ E. z e. NN0* y = ( I ` z ) ) )
219	5, 217, 218	sylanbrc 417	1 |- ( om e. Omni -> I :NN0* -onto->ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   {crab 2476   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   {cpr 3619   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   Oncon0 4394   omcom 4622   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   o. ccom 4663   Fn wfn 5249   -->wf 5250   -onto->wfo 5252   -1-1-onto->wf1o 5253   ` cfv 5254  (class class class)co 5918  freccfrec 6443   1oc1o 6462   2oc2o 6463  infcinf 7042  ℕ_∞xnninf 7178  Omnicomni 7193   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   +oocpnf 8051   < clt 8054   NN0cn0 9240  NN0*cxnn0 9303   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-map 6704  df-sup 7043  df-inf 7044  df-nninf 7179  df-omni 7194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  nninfct  12178