Theorem nninfctlemfo 12736

Description: Lemma for nninfct 12737. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfct.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
nninfct.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
nninfct.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
nninfctlemfo	|- ( om e. Omni -> I :NN0* -onto->ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, G, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x)   I( x, i, n)

Proof of Theorem nninfctlemfo

Dummy variables k m z j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfct.g	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		nninfct.f	. . . 4 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3		nninfct.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
4	1, 2, 3	fxnn0nninf 10801	. . 3 |- I :NN0* -->ℕ∞
5	4	a1i 9	. 2 |- ( om e. Omni -> I :NN0* -->ℕ∞ )
6		ssrab2 3323	. . . . . . . . 9 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } C_ ( ZZ>= ` 0 )
7		nn0uz 9889	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
8		nn0ssxnn0 9566	. . . . . . . . . 10 |- NN0 C_ NN0*
9	7, 8	eqsstrri 3271	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 0 ) C_ NN0*
10	6, 9	sstri 3247	. . . . . . . 8 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } C_ NN0*
11		0zd 9589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> 0 e. ZZ )
12		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } = { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) }
13		fveq2 5670	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( G ` j ) -> ( `' G ` m ) = ( `' G ` ( G ` j ) ) )
14	13	fveqeq2d 5678	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( G ` j ) -> ( ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = (/) ) )
15		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> j e. om )
16	11, 1, 15	frec2uzuzd 10764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G ` j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17	11, 1	frec2uzf1od 10768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
18		f1ocnvfv1 5950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ j e. om ) -> ( `' G ` ( G ` j ) ) = j )
19	17, 15, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( `' G ` ( G ` j ) ) = j )
20	19	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = ( y ` j ) )
21		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` j ) = (/) )
22	20, 21	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` j ) ) ) = (/) )
23	14, 16, 22	elrabd 2975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G ` j ) e. { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } )
24		nninff 7413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> 2o )
25		2ssom 6757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o C_ om
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ℕ∞ -> 2o C_ om )
27	24, 26	fssd 5522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ℕ∞ -> y : om --> om )
28	27	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> y : om --> om )
29		elfzuz 10355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
30		f1ocnvdm 5954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
31	17, 29, 30	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
32	28, 31	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om )
33		peano1 4716	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
34		nndceq 6732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om /\ (/) e. om ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
35	32, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` j ) ) ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
36	11, 12, 23, 35	infssuzcldc 10595	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } )
37	10, 36	sselid 3236	. . . . . . 7 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0* )
38	24	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> y : om --> 2o )
39	38	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y : om --> 2o )
40	39	ffnd 5509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y Fn om )
41	4	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> I :NN0* -->ℕ∞ )
42	41, 37	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. ℕ∞ )
43		nninff 7413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. ℕ∞ -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) : om --> 2o )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) : om --> 2o )
45	44	ffnd 5509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) Fn om )
46		2fveq3 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` m ) ) )
47	46	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) ) )
48	47	cbvrabv 2812	. . . . . . . . . . . . 13 |- { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } = { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) }
49	48	infeq1i 7304	. . . . . . . . . . . 12 |- inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < )
50	49	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
51	50	eleq2i 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
53	52, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
54	53	iftrued 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = 1o )
55	3	fveq1i 5671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
56	6, 36	sselid 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57	56, 7	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
58	57	nn0nepnfd 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) =/= +oo )
59	58	necomd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> +oo =/= inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) )
60		fvunsng 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 /\ +oo =/= inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
61	57, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
62	55, 61	eqtrid 2277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
63		dff1o4 5622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( G Fn om /\ `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) ) )
64	17, 63	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( G Fn om /\ `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) ) )
65	64	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
66		fvco2 5746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' G Fn ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
67	65, 56, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( F o. `' G ) ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
68		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( i e. n <-> i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
69	68	ifbid 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
70	69	mpteq2dv 4201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
71		f1ocnvdm 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
72	17, 56, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
73		omex 4715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- om e. _V
74	73	mptex 5912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) e. _V
75	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) e. _V )
76	2, 70, 72, 75	fvmptd3 5771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( F ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
77	62, 67, 76	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) )
78	77	fveq1d 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) )
79	78	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) )
80		eqid 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
81		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = k -> ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
82	81	ifbid 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
83		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> k e. om )
84		1lt2o 6675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. 2o
85	84	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> 1o e. 2o )
86		0lt2o 6674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. 2o
87	86	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> (/) e. 2o )
88	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
89		nndcel 6733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. om /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om ) -> DECID k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
90	83, 88, 89	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> DECID k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
91	85, 87, 90	ifcldcd 3660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) e. 2o )
92	80, 82, 83, 91	fvmptd3 5771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
93	79, 92	eqtrd 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
94	93	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
95		0zd 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> 0 e. ZZ )
96		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> k e. om )
97	50, 88	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
98	97	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
99	95, 1, 96, 98	frec2uzlt2d 10766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) <-> ( G ` k ) < ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) ) )
100	52, 99	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` k ) < ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
101	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
102	49, 56	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
103	102	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
104		f1ocnvfv2 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
105	101, 103, 104	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
106	100, 105	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
107	49, 57	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
108	107	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0 )
109	108	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) e. RR )
110		elrabi 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
111	110, 7	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> ( G ` k ) e. NN0 )
112	111	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. NN0 )
113	112	nn0red 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. RR )
114		0zd 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> 0 e. ZZ )
115		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
116	39	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> y : om --> 2o )
117	17	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) )
118		elfzuz 10355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
119	118	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
120	117, 119, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( `' G ` m ) e. om )
121	116, 120	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. 2o )
122	25, 121	sselid 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` m ) ) e. om )
123	122, 33, 34	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) /\ m e. ( 0 ... ( G ` k ) ) ) -> DECID ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) )
124	114, 48, 115, 123	infssuzledc 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) <_ ( G ` k ) )
125	109, 113, 124	lensymd 8395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) /\ ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } ) -> -. ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) )
126	125	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } -> -. ( G ` k ) < inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
127	106, 126	mt2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
128		2fveq3 5675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( G ` k ) -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) )
129	128	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = ( G ` k ) -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
130	129	elrab 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> ( ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
131		f1of 5614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) -> G : om --> ( ZZ>= ` 0 ) )
132	17, 131	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> G : om --> ( ZZ>= ` 0 ) )
133	132	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
134	133	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) <-> ( ( G ` k ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) ) )
135	130, 134	bitr4id 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
136	135	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( -. ( G ` k ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) ) )
138	127, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) )
139		f1ocnvfv1 5950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 0 ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` ( G ` k ) ) = k )
140	17, 139	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( `' G ` ( G ` k ) ) = k )
141	140	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = ( y ` k ) )
142	141	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = ( y ` k ) )
143	142	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( y ` ( `' G ` ( G ` k ) ) ) = (/) <-> ( y ` k ) = (/) ) )
144	138, 143	mtbid 679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> -. ( y ` k ) = (/) )
145	39	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) e. 2o )
146		df2o3 6662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = { (/) , 1o }
147	145, 146	eleqtrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) e. { (/) , 1o } )
148		elpri 3712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ` k ) e. { (/) , 1o } -> ( ( y ` k ) = (/) \/ ( y ` k ) = 1o ) )
149	147, 148	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` k ) = (/) \/ ( y ` k ) = 1o ) )
150	149	orcomd 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( y ` k ) = 1o \/ ( y ` k ) = (/) ) )
151	150	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( ( y ` k ) = 1o \/ ( y ` k ) = (/) ) )
152	144, 151	ecased 1386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = 1o )
153	54, 94, 152	3eqtr4rd 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
154	51, 153	sylan2br 288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
155		ssnel 4691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k -> -. k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
156	155	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> -. k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
157	156	iffalsed 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) = (/) )
158	93	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) = if ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) , 1o , (/) ) )
159		simp-4r 544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> y e. ℕ∞ )
160	72	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om )
161		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> k e. om )
162		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k )
163	36, 48	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } )
164		2fveq3 5675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( y ` ( `' G ` n ) ) = ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) )
165	164	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) <-> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
166	165	elrab 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` n ) ) = (/) } <-> (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
167	163, 166	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) ) )
168	167	simprd 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) )
169	168	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) = (/) )
170	159, 160, 161, 162, 169	nninfninc 7414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` k ) = (/) )
171	157, 158, 170	3eqtr4rd 2276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
172		nntri3or 6726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. om /\ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) )
173	83, 88, 172	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) )
174		3orass 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) <-> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) )
175	173, 174	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) )
176		eqimss2 3293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k )
177	176	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
178		nnon 4732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> k e. On )
179		onelss 4508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. On -> ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> ( ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
181	177, 180	jaod 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
182	181	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) -> ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
183	182	orim2d 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( k = ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) e. k ) ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) ) )
184	175, 183	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( k e. ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) \/ ( `' G ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) C_ k ) )
185	154, 171, 184	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ` k ) )
186	40, 45, 185	eqfnfvd 5778	. . . . . . 7 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> y = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
187		fveq2 5670	. . . . . . . 8 |- ( z = inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) -> ( I ` z ) = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) )
188	187	rspceeqv 2939	. . . . . . 7 |- ( (inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) e. NN0* /\ y = ( I ` inf ( { m e. ( ZZ>= ` 0 ) | ( y ` ( `' G ` m ) ) = (/) } , RR , < ) ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
189	37, 186, 188	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ ( j e. om /\ ( y ` j ) = (/) ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
190	189	rexlimdvaa 2661	. . . . 5 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) ) )
191	190	imp 124	. . . 4 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ E. j e. om ( y ` j ) = (/) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
192		pnf0xnn0 9570	. . . . 5 |- +oo e. NN0*
193	24	ffnd 5509	. . . . . . 7 |- ( y e. ℕ∞ -> y Fn om )
194	193	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> y Fn om )
195		1oex 6655	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
196	1, 2, 3	inftonninf 10804	. . . . . . . 8 |- ( I ` +oo ) = ( x e. om |-> 1o )
197	195, 196	fnmpti 5487	. . . . . . 7 |- ( I ` +oo ) Fn om
198	197	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> ( I ` +oo ) Fn om )
199		fveqeq2 5679	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( y ` j ) = 1o <-> ( y ` k ) = 1o ) )
200		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> A. j e. om ( y ` j ) = 1o )
201		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> k e. om )
202	199, 200, 201	rspcdva 2926	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = 1o )
203		eqidd 2233	. . . . . . . . 9 |- ( x = k -> 1o = 1o )
204	203, 196, 195	fvmpt 5754	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( ( I ` +oo ) ` k ) = 1o )
205	204	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( ( I ` +oo ) ` k ) = 1o )
206	202, 205	eqtr4d 2268	. . . . . 6 |- ( ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) /\ k e. om ) -> ( y ` k ) = ( ( I ` +oo ) ` k ) )
207	194, 198, 206	eqfnfvd 5778	. . . . 5 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> y = ( I ` +oo ) )
208		fveq2 5670	. . . . . 6 |- ( z = +oo -> ( I ` z ) = ( I ` +oo ) )
209	208	rspceeqv 2939	. . . . 5 |- ( ( +oo e. NN0* /\ y = ( I ` +oo ) ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
210	192, 207, 209	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) /\ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
211		isomni 7427	. . . . . . . 8 |- ( om e. _V -> ( om e. Omni <-> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) ) )
212	73, 211	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( om e. Omni <-> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
213	212	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( om e. Omni -> A. y ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
214	213	19.21bi 1607	. . . . 5 |- ( om e. Omni -> ( y : om --> 2o -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) ) )
215	214, 24	impel 280	. . . 4 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> ( E. j e. om ( y ` j ) = (/) \/ A. j e. om ( y ` j ) = 1o ) )
216	191, 210, 215	mpjaodan 806	. . 3 |- ( ( om e. Omni /\ y e. ℕ∞ ) -> E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
217	216	ralrimiva 2615	. 2 |- ( om e. Omni -> A. y e. ℕ∞ E. z e. NN0* y = ( I ` z ) )
218		dffo3 5824	. 2 |- ( I :NN0* -onto->ℕ∞ <-> ( I :NN0* -->ℕ∞ /\ A. y e. ℕ∞ E. z e. NN0* y = ( I ` z ) ) )
219	5, 217, 218	sylanbrc 417	1 |- ( om e. Omni -> I :NN0* -onto->ℕ∞ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   _Vcvv 2813   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   ifcif 3620   {csn 3689   {cpr 3690   <.cop 3692   class class class wbr 4109   |-> cmpt 4171   Oncon0 4484   omcom 4712   X. cxp 4747   `'ccnv 4748   o. ccom 4753   Fn wfn 5347   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   -1-1-onto->wf1o 5351   ` cfv 5352  (class class class)co 6050  freccfrec 6621   1oc1o 6640   2oc2o 6641  infcinf 7274  ℕ_∞xnninf 7410  Omnicomni 7425   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   +oocpnf 8305   < clt 8308   NN0cn0 9496  NN0*cxnn0 9563   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-sup 7275  df-inf 7276  df-nninf 7411  df-omni 7426  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-xnn0 9564  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  nninfct  12737