Theorem nninfct 12583

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12582	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞)
5		omex 4686	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
6	5	mptex 5872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∈ V
7		frecex 6551	. . . . . . . 8 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
8	7	cnvex 5270	. . . . . . 7 ⊢ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
9	6, 8	coex 5277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∈ V
10		pnfex 8216	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
11		1oex 6581	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	snex 4270	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
13	5, 12	xpex 4837	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
14	10, 13	opex 4316	. . . . . . 7 ⊢ ⟨+∞, (ω × {1o})⟩ ∈ V
15	14	snex 4270	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩} ∈ V
16	9, 15	unex 4533	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) ∈ V
17		foeq1 5549	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ↔ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞))
18	16, 17	spcev 2898	. . . 4 ⊢ ((((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞)
19		xnn0nnen 10676	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0* ≈ ℕ
20		nnenom 10673	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
21	19, 20	entr2i 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ0*
22		bren 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ ℕ0* ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*)
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*
24		f1ofo 5584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0* → 𝑔:ω–onto→ℕ0*)
25	23, 24	eximii 1648	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0*
26		foco 5564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞)
27		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
28		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	27, 28	coex 5277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
30		foeq1 5549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞))
31	29, 30	spcev 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
34	33	exlimiv 1644	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
36	35	exlimiv 1644	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
38		foeq1 5549	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
39	38	cbvexv 1965	. . 3 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
40	37, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
41		infnninf 7307	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
42		elex2 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞
44		ctm 7292	. . 3 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
46	40, 45	sylibr 134	1 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  ∅c0 3491  ifcif 3602  {csn 3666  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ωcom 4683   × cxp 4718  ^◡ccnv 4719   ∘ ccom 4724  –onto→wfo 5319  –1-1-onto→wf1o 5320  (class class class)co 6010  freccfrec 6547  1_oc1o 6566   ≈ cen 6898   ⊔ cdju 7220  ℕ_∞xnninf 7302  Omnicomni 7317  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018  +∞cpnf 8194  ℕcn 9126  ℕ₀^*cxnn0 9448  ℤcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-sup 7167  df-inf 7168  df-dju 7221  df-inl 7230  df-inr 7231  df-case 7267  df-nninf 7303  df-omni 7318  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-xnn0 9449  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16501