Theorem nninfct 12801

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12800	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞)
5		omex 4738	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
6	5	mptex 5937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∈ V
7		frecex 6659	. . . . . . . 8 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
8	7	cnvex 5324	. . . . . . 7 ⊢ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
9	6, 8	coex 5331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∈ V
10		pnfex 8373	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
11		1oex 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	snex 4320	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
13	5, 12	xpex 4889	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
14	10, 13	opex 4367	. . . . . . 7 ⊢ ⟨+∞, (ω × {1o})⟩ ∈ V
15	14	snex 4320	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩} ∈ V
16	9, 15	unex 4585	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) ∈ V
17		foeq1 5609	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ↔ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞))
18	16, 17	spcev 2920	. . . 4 ⊢ ((((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞)
19		xnn0nnen 10857	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0* ≈ ℕ
20		nnenom 10854	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
21	19, 20	entr2i 7068	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ0*
22		bren 7024	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ ℕ0* ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*)
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*
24		f1ofo 5644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0* → 𝑔:ω–onto→ℕ0*)
25	23, 24	eximii 1655	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0*
26		foco 5624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞)
27		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
28		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	27, 28	coex 5331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
30		foeq1 5609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞))
31	29, 30	spcev 2920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
34	33	exlimiv 1651	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
36	35	exlimiv 1651	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
38		foeq1 5609	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
39	38	cbvexv 1974	. . 3 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
40	37, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
41		infnninf 7458	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
42		elex2 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞
44		ctm 7443	. . 3 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
46	40, 45	sylibr 134	1 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3708  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ωcom 4735   × cxp 4770  ^◡ccnv 4771   ∘ ccom 4776  –onto→wfo 5373  –1-1-onto→wf1o 5374  (class class class)co 6079  freccfrec 6655  1_oc1o 6674   ≈ cen 7014   ⊔ cdju 7371  ℕ_∞xnninf 7453  Omnicomni 7468  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176  +∞cpnf 8351  ℕcn 9287  ℕ₀^*cxnn0 9613  ℤcz 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-sup 7318  df-inf 7319  df-dju 7372  df-inl 7381  df-inr 7382  df-case 7418  df-nninf 7454  df-omni 7469  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-xnn0 9614  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533

This theorem is referenced by:  nnnninfen  17038