Theorem nninfct 12208

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12207	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞)
5		omex 4629	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
6	5	mptex 5788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∈ V
7		frecex 6452	. . . . . . . 8 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
8	7	cnvex 5208	. . . . . . 7 ⊢ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
9	6, 8	coex 5215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∈ V
10		pnfex 8080	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
11		1oex 6482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	snex 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
13	5, 12	xpex 4778	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
14	10, 13	opex 4262	. . . . . . 7 ⊢ ⟨+∞, (ω × {1o})⟩ ∈ V
15	14	snex 4218	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩} ∈ V
16	9, 15	unex 4476	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) ∈ V
17		foeq1 5476	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ↔ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞))
18	16, 17	spcev 2859	. . . 4 ⊢ ((((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞)
19		xnn0nnen 10529	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0* ≈ ℕ
20		nnenom 10526	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
21	19, 20	entr2i 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ0*
22		bren 6806	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ ℕ0* ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*)
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*
24		f1ofo 5511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0* → 𝑔:ω–onto→ℕ0*)
25	23, 24	eximii 1616	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0*
26		foco 5491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞)
27		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
28		vex 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	27, 28	coex 5215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
30		foeq1 5476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞))
31	29, 30	spcev 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
34	33	exlimiv 1612	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
36	35	exlimiv 1612	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
38		foeq1 5476	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
39	38	cbvexv 1933	. . 3 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
40	37, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
41		infnninf 7190	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
42		elex2 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞
44		ctm 7175	. . 3 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
46	40, 45	sylibr 134	1 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  ∅c0 3450  ifcif 3561  {csn 3622  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ωcom 4626   × cxp 4661  ^◡ccnv 4662   ∘ ccom 4667  –onto→wfo 5256  –1-1-onto→wf1o 5257  (class class class)co 5922  freccfrec 6448  1_oc1o 6467   ≈ cen 6797   ⊔ cdju 7103  ℕ_∞xnninf 7185  Omnicomni 7200  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882  +∞cpnf 8058  ℕcn 8990  ℕ₀^*cxnn0 9312  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-map 6709  df-en 6800  df-sup 7050  df-inf 7051  df-dju 7104  df-inl 7113  df-inr 7114  df-case 7150  df-nninf 7186  df-omni 7201  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-xnn0 9313  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  nnnninfen  15665