Theorem nninfct 12181

Description: The limited principle of omniscience (LPO) implies that ℕ_∞ is countable. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfct	⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Proof of Theorem nninfct

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) = (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅)))
3		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩})
4	1, 2, 3	nninfctlemfo 12180	. . . 4 ⊢ (ω ∈ Omni → (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞)
5		omex 4626	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
6	5	mptex 5785	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∈ V
7		frecex 6449	. . . . . . . 8 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
8	7	cnvex 5205	. . . . . . 7 ⊢ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) ∈ V
9	6, 8	coex 5212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∈ V
10		pnfex 8075	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ V
11		1oex 6479	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
12	11	snex 4215	. . . . . . . . 9 ⊢ {1o} ∈ V
13	5, 12	xpex 4775	. . . . . . . 8 ⊢ (ω × {1o}) ∈ V
14	10, 13	opex 4259	. . . . . . 7 ⊢ ⟨+∞, (ω × {1o})⟩ ∈ V
15	14	snex 4215	. . . . . 6 ⊢ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩} ∈ V
16	9, 15	unex 4473	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) ∈ V
17		foeq1 5473	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}) → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ↔ (((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞))
18	16, 17	spcev 2856	. . . 4 ⊢ ((((𝑛 ∈ ω ↦ (𝑘 ∈ ω ↦ if(𝑘 ∈ 𝑛, 1o, ∅))) ∘ ◡frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)) ∪ {⟨+∞, (ω × {1o})⟩}):ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞)
19		xnn0nnen 10511	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0* ≈ ℕ
20		nnenom 10508	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ ≈ ω
21	19, 20	entr2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ ω ≈ ℕ0*
22		bren 6803	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ ℕ0* ↔ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*)
23	21, 22	mpbi 145	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0*
24		f1ofo 5508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–1-1-onto→ℕ0* → 𝑔:ω–onto→ℕ0*)
25	23, 24	eximii 1613	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0*
26		foco 5488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞)
27		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑓 ∈ V
28		vex 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	27, 28	coex 5212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
30		foeq1 5473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞))
31	29, 30	spcev 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):ω–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ ∧ 𝑔:ω–onto→ℕ0*) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
33	32	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
34	33	exlimiv 1609	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑔 𝑔:ω–onto→ℕ0* → (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞))
35	25, 34	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
36	35	exlimiv 1609	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ℕ0*–onto→ℕ∞ → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
37	4, 18, 36	3syl 17	. . 3 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞)
38		foeq1 5473	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑓 → (ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
39	38	cbvexv 1930	. . 3 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→ℕ∞ ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
40	37, 39	sylib 122	. 2 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
41		infnninf 7185	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞
42		elex2 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ↦ 1o) ∈ ℕ∞ → ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞
44		ctm 7170	. . 3 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ ℕ∞ → (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞))
45	43, 44	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o) ↔ ∃𝑓 𝑓:ω–onto→ℕ∞)
46	40, 45	sylibr 134	1 ⊢ (ω ∈ Omni → ∃𝑓 𝑓:ω–onto→(ℕ∞ ⊔ 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3152  ∅c0 3447  ifcif 3558  {csn 3619  ⟨cop 3622   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ωcom 4623   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659   ∘ ccom 4664  –onto→wfo 5253  –1-1-onto→wf1o 5254  (class class class)co 5919  freccfrec 6445  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794   ⊔ cdju 7098  ℕ_∞xnninf 7180  Omnicomni 7195  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877  +∞cpnf 8053  ℕcn 8984  ℕ₀^*cxnn0 9306  ℤcz 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-map 6706  df-en 6797  df-sup 7045  df-inf 7046  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109  df-case 7145  df-nninf 7181  df-omni 7196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-xnn0 9307  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212

This theorem is referenced by:  nnnninfen  15581