Theorem prmlem1a 13241

Description: Lemma for prmlem1 13242 and prmlem2 13254. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt	⊢ 1 < 𝑁
prmlem1.2	⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3	⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x	⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
prmlem1a	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		prmlem1.gt	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
3		eluz2b2 10012	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
4	1, 2, 3	mpbir2an 955	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)
5		prmlem1.2	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 𝑁
6	5	2a1i 27	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
7		breq1 4133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 2 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
8	7	notbid 677	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
9	8	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
10	6, 9	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 = 2 → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		prmnn 12904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
13		eldifsn 3841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
14		n2dvds1 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
15		prmlem1a.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
16		prmlem1.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 3 ∥ 𝑁
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
18		3p2e5 9448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 + 2) = 5
19	15, 17, 18	prmlem0 13240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
20		1nprm 12908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
21	20	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
22		1p2e3 9441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 2) = 3
23	19, 21, 22	prmlem0 13240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
24	14, 23	mpan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
25		nnuz 9967	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
26	24, 25	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
27	26	expd 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
28	13, 27	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
29	12, 28	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
30	29	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ≠ 2 → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
31		prmz 12905	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
32		2z 9676	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zdceq 9724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 = 2)
34	31, 32, 33	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → DECID 𝑥 = 2)
35		dcne 2431	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 = 2 ↔ (𝑥 = 2 ∨ 𝑥 ≠ 2))
36	34, 35	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 = 2 ∨ 𝑥 ≠ 2))
37	10, 30, 36	mpjaod 730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	rgen 2603	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)
39		isprm5 12937	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
40	4, 38, 39	mpbir2an 955	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217  {csn 3709   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8180   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℕcn 9306  2c2 9357  3c3 9358  5c5 9360  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ↑cexp 10988   ∥ cdvds 12570  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  prmlem1  13242  prmlem2  13254