Theorem prmlem2 13254

Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows to cover the numbers less than 5 ^ 2 = 2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 2 9 ^ 2 = 8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 13267).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem2.n	|- N e. NN
prmlem2.lt	|- N < ;; 8 4 1
prmlem2.gt	|- 1 < N
prmlem2.2	|- -. 2 || N
prmlem2.3	|- -. 3 || N
prmlem2.5	|- -. 5 || N
prmlem2.7	|- -. 7 || N
prmlem2.11	|- -. ; 1 1 || N
prmlem2.13	|- -. ; 1 3 || N
prmlem2.17	|- -. ; 1 7 || N
prmlem2.19	|- -. ; 1 9 || N
prmlem2.23	|- -. ; 2 3 || N

Assertion

Ref	Expression
prmlem2	|- N e. Prime

Proof of Theorem prmlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem2.n	. 2 |- N e. NN
2		prmlem2.gt	. 2 |- 1 < N
3		prmlem2.2	. 2 |- -. 2 || N
4		prmlem2.3	. 2 |- -. 3 || N
5		eluzelre 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> x e. RR )
6	5	resqcld 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
7		eluzle 9943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ; 2 9 <_ x )
8		2nn0 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN0
9		9nn0 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 9 e. NN0
10	8, 9	deccl 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ; 2 9 e. NN0
11	10	nn0rei 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 2 9 e. RR
12	10	nn0ge0i 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ ; 2 9
13		le2sq2 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (; 2 9 e. RR /\ 0 <_ ; 2 9 ) /\ ( x e. RR /\ ; 2 9 <_ x ) ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
14	11, 12, 13	mpanl12 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ ; 2 9 <_ x ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
15	5, 7, 14	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
16	1	nnrei 9315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- N e. RR
17	11	resqcli 11074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (; 2 9 ^ 2 ) e. RR
18		prmlem2.lt	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N < ;; 8 4 1
19	10	nn0cni 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 9 e. CC
20	19	sqvali 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (; 2 9 ^ 2 ) = (; 2 9 x. ; 2 9 )
21		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 9 = ; 2 9
22		1nn0 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. NN0
23		6nn0 9588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 6 e. NN0
24	8, 23	deccl 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 6 e. NN0
25		5nn0 9587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 5 e. NN0
26		8nn0 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 8 e. NN0
27	19	2timesi 9436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 2 x. ; 2 9 ) = (; 2 9 + ; 2 9 )
28		2p2e4 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 2 + 2 ) = 4
29	28	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 2 + 2 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
30		4p1e5 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 4 + 1 ) = 5
31	29, 30	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 2 + 2 ) + 1 ) = 5
32		9p9e18 9879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 9 + 9 ) = ; 1 8
33	8, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32	decaddc 9840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (; 2 9 + ; 2 9 ) = ; 5 8
34	27, 33	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 x. ; 2 9 ) = ; 5 8
35		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ; 2 6 = ; 2 6
36		5p2e7 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 5 + 2 ) = 7
37	36	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 5 + 2 ) + 1 ) = ( 7 + 1 )
38		7p1e8 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 7 + 1 ) = 8
39	37, 38	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 5 + 2 ) + 1 ) = 8
40		4nn0 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 4 e. NN0
41		8p6e14 9869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
42	25, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41	decaddc 9840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 x. ; 2 9 ) + ; 2 6 ) = ; 8 4
43		9t2e18 9907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 9 x. 2 ) = ; 1 8
44		1p1e2 9423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 1 + 1 ) = 2
45		8p8e16 9871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 8 + 8 ) = ; 1 6
46	22, 26, 26, 43, 44, 23, 45	decaddci 9846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 9 x. 2 ) + 8 ) = ; 2 6
47		9t9e81 9914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 9 x. 9 ) = ; 8 1
48	9, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47	decmul2c 9851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 9 x. ; 2 9 ) = ;; 2 6 1
49	10, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48	decmul1c 9850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (; 2 9 x. ; 2 9 ) = ;; 8 4 1
50	20, 49	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (; 2 9 ^ 2 ) = ;; 8 4 1
51	18, 50	breqtrri 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N < (; 2 9 ^ 2 )
52		ltletr 8415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. RR /\ (; 2 9 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( N < (; 2 9 ^ 2 ) /\ (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
53	51, 52	mpani 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. RR /\ (; 2 9 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
54	16, 17, 53	mp3an12 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x ^ 2 ) e. RR -> ( (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
55	6, 15, 54	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> N < ( x ^ 2 ) )
56	1	nnzi 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N e. ZZ
57		eluzelz 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> x e. ZZ )
58		zsqcl 11060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( x ^ 2 ) e. ZZ )
60		zltnle 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ZZ /\ ( x ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
61	56, 59, 60	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
62	55, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> -. ( x ^ 2 ) <_ N )
63	62	pm2.21d 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
64	63	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. 2 || ; 2 9 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
66		9nn 9477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 9 e. NN
67		3nn 9471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. NN
68		1lt9 9513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 9
69		1lt3 9480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 3
70		9t3e27 9908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
71	66, 67, 68, 69, 70	nprmi 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. ; 2 7 e. Prime
72	71	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 2 7 e. Prime -> -. ; 2 7 || N )
73		7nn0 9589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 7 e. NN0
74		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 2 7 = ; 2 7
75		7p2e9 9458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 + 2 ) = 9
76	8, 73, 8, 74, 75	decaddi 9845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 2 7 + 2 ) = ; 2 9
77	65, 72, 76	prmlem0 13240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || ; 2 7 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
78		5nn 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. NN
79		1lt5 9487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 < 5
80		5t5e25 9888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
81	78, 78, 79, 79, 80	nprmi 12918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ; 2 5 e. Prime
82	81	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 2 5 e. Prime -> -. ; 2 5 || N )
83		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ; 2 5 = ; 2 5
84	8, 25, 8, 83, 36	decaddi 9845	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 2 5 + 2 ) = ; 2 7
85	77, 82, 84	prmlem0 13240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || ; 2 5 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
86		prmlem2.23	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ; 2 3 || N
87	86	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 2 3 e. Prime -> -. ; 2 3 || N )
88		3nn0 9585	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
89		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 2 3 = ; 2 3
90		3p2e5 9448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 + 2 ) = 5
91	8, 88, 8, 89, 90	decaddi 9845	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 2 3 + 2 ) = ; 2 5
92	85, 87, 91	prmlem0 13240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || ; 2 3 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 3 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
93		7nn 9475	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. NN
94		1lt7 9498	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 7
95		7t3e21 9895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
96	93, 67, 94, 69, 95	nprmi 12918	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ; 2 1 e. Prime
97	96	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 |- (; 2 1 e. Prime -> -. ; 2 1 || N )
98		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 2 1 = ; 2 1
99		1p2e3 9441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 2 ) = 3
100	8, 22, 8, 98, 99	decaddi 9845	. . . . . . . . . . 11 |- (; 2 1 + 2 ) = ; 2 3
101	92, 97, 100	prmlem0 13240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || ; 2 1 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 1 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
102		prmlem2.19	. . . . . . . . . . 11 |- -. ; 1 9 || N
103	102	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 9 e. Prime -> -. ; 1 9 || N )
104		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ; 1 9 = ; 1 9
105		9p2e11 9872	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 + 2 ) = ; 1 1
106	22, 9, 8, 104, 44, 22, 105	decaddci 9846	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 9 + 2 ) = ; 2 1
107	101, 103, 106	prmlem0 13240	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || ; 1 9 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
108		prmlem2.17	. . . . . . . . . 10 |- -. ; 1 7 || N
109	108	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- (; 1 7 e. Prime -> -. ; 1 7 || N )
110		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 7 = ; 1 7
111	22, 73, 8, 110, 75	decaddi 9845	. . . . . . . . 9 |- (; 1 7 + 2 ) = ; 1 9
112	107, 109, 111	prmlem0 13240	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || ; 1 7 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
113		5t3e15 9886	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
114	78, 67, 79, 69, 113	nprmi 12918	. . . . . . . . 9 |- -. ; 1 5 e. Prime
115	114	pm2.21i 655	. . . . . . . 8 |- (; 1 5 e. Prime -> -. ; 1 5 || N )
116		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ; 1 5 = ; 1 5
117	22, 25, 8, 116, 36	decaddi 9845	. . . . . . . 8 |- (; 1 5 + 2 ) = ; 1 7
118	112, 115, 117	prmlem0 13240	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || ; 1 5 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
119		prmlem2.13	. . . . . . . 8 |- -. ; 1 3 || N
120	119	a1i 9	. . . . . . 7 |- (; 1 3 e. Prime -> -. ; 1 3 || N )
121		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ; 1 3 = ; 1 3
122	22, 88, 8, 121, 90	decaddi 9845	. . . . . . 7 |- (; 1 3 + 2 ) = ; 1 5
123	118, 120, 122	prmlem0 13240	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || ; 1 3 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 3 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
124		prmlem2.11	. . . . . . 7 |- -. ; 1 1 || N
125	124	a1i 9	. . . . . 6 |- (; 1 1 e. Prime -> -. ; 1 1 || N )
126		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ; 1 1 = ; 1 1
127	22, 22, 8, 126, 99	decaddi 9845	. . . . . 6 |- (; 1 1 + 2 ) = ; 1 3
128	123, 125, 127	prmlem0 13240	. . . . 5 |- ( ( -. 2 || ; 1 1 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
129		9nprm 13247	. . . . . 6 |- -. 9 e. Prime
130	129	pm2.21i 655	. . . . 5 |- ( 9 e. Prime -> -. 9 || N )
131	128, 130, 105	prmlem0 13240	. . . 4 |- ( ( -. 2 || 9 /\ x e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
132		prmlem2.7	. . . . 5 |- -. 7 || N
133	132	a1i 9	. . . 4 |- ( 7 e. Prime -> -. 7 || N )
134	131, 133, 75	prmlem0 13240	. . 3 |- ( ( -. 2 || 7 /\ x e. ( ZZ>= ` 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
135		prmlem2.5	. . . 4 |- -. 5 || N
136	135	a1i 9	. . 3 |- ( 5 e. Prime -> -. 5 || N )
137	134, 136, 36	prmlem0 13240	. 2 |- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
138	1, 2, 3, 4, 137	prmlem1a 13241	1 |- N e. Prime

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   \ cdif 3217   {csn 3709   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9306   2c2 9357   3c3 9358   4c4 9359   5c5 9360   6c6 9361   7c7 9362   8c8 9363   9c9 9364   ZZcz 9648  ;cdc 9781   ZZ>=cuz 9930   ^cexp 10988   || cdvds 12570   Primecprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-fl 10715  df-mod 10773  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  37prm  13255  43prm  13256  83prm  13257  139prm  13258  163prm  13259  317prm  13260  631prm  13261