ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexpzap GIF version

Theorem mulexpzap 10573
Description: Integer exponentiation of a product. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulexpzap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem mulexpzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9280 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42, 3anim12i 338 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 mulexp 10572 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
653expa 1204 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
74, 6sylan 283 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
8 simplll 533 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 7991 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
12 simplrr 536 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต # 0)
138, 9, 11, 12mulap0d 8628 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)
14 recn 7957 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514ad2antrl 490 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 nnnn0 9196 . . . . . . 7 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
1716ad2antll 491 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
18 expineg2 10542 . . . . . 6 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
1910, 13, 15, 17, 18syl22anc 1249 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
20 expineg2 10542 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
218, 11, 15, 17, 20syl22anc 1249 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
22 expineg2 10542 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
239, 12, 15, 17, 22syl22anc 1249 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
2421, 23oveq12d 5906 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
25 mulexp 10572 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
268, 9, 17, 25syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
2726oveq2d 5904 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
28 1t1e1 9084 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
2928oveq1i 5898 . . . . . . . 8 ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
3027, 29eqtr4di 2238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
31 expcl 10551 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
328, 17, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 nnz 9285 . . . . . . . . . 10 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3433ad2antll 491 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
35 expap0i 10565 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
368, 11, 34, 35syl3anc 1248 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
37 expcl 10551 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
389, 17, 37syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
39 expap0i 10565 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)
409, 12, 34, 39syl3anc 1248 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)
41 ax-1cn 7917 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
42 divmuldivap 8682 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) # 0))) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4341, 41, 42mpanl12 436 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4432, 36, 38, 40, 43syl22anc 1249 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4530, 44eqtr4d 2223 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
4624, 45eqtr4d 2223 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
4719, 46eqtr4d 2223 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
487, 47jaodan 798 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
491, 48sylan2b 287 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
50493impa 1195 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   ยท cmul 7829  -cneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  โ†‘cexp 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533
This theorem is referenced by:  exprecap  10574
  Copyright terms: Public domain W3C validator