ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulexpzap GIF version

Theorem mulexpzap 10578
Description: Integer exponentiation of a product. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulexpzap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem mulexpzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9285 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 simpl 109 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42, 3anim12i 338 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
5 mulexp 10577 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
653expa 1205 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
74, 6sylan 283 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
8 simplll 533 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 7996 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
12 simplrr 536 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ต # 0)
138, 9, 11, 12mulap0d 8633 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)
14 recn 7962 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514ad2antrl 490 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 nnnn0 9201 . . . . . . 7 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
1716ad2antll 491 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
18 expineg2 10547 . . . . . 6 ((((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ต) # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
1910, 13, 15, 17, 18syl22anc 1250 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
20 expineg2 10547 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
218, 11, 15, 17, 20syl22anc 1250 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
22 expineg2 10547 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
239, 12, 15, 17, 22syl22anc 1250 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) = (1 / (๐ตโ†‘-๐‘)))
2421, 23oveq12d 5909 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
25 mulexp 10577 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
268, 9, 17, 25syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘) = ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
2726oveq2d 5907 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
28 1t1e1 9089 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
2928oveq1i 5901 . . . . . . . 8 ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘)))
3027, 29eqtr4di 2240 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
31 expcl 10556 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
328, 17, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
33 nnz 9290 . . . . . . . . . 10 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
3433ad2antll 491 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
35 expap0i 10570 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
368, 11, 34, 35syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
37 expcl 10556 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
389, 17, 37syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
39 expap0i 10570 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)
409, 12, 34, 39syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)
41 ax-1cn 7922 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
42 divmuldivap 8687 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) # 0))) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4341, 41, 42mpanl12 436 . . . . . . . 8 ((((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0) โˆง ((๐ตโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ตโ†‘-๐‘) # 0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4432, 36, 38, 40, 43syl22anc 1250 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘) ยท (๐ตโ†‘-๐‘))))
4530, 44eqtr4d 2225 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘)) ยท (1 / (๐ตโ†‘-๐‘))))
4624, 45eqtr4d 2225 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)) = (1 / ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘-๐‘)))
4719, 46eqtr4d 2225 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
487, 47jaodan 798 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
491, 48sylan2b 287 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
50493impa 1196 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7827  โ„cr 7828  0cc0 7829  1c1 7830   ยท cmul 7834  -cneg 8147   # cap 8556   / cdiv 8647  โ„•cn 8937  โ„•0cn0 9194  โ„คcz 9271  โ†‘cexp 10537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-seqfrec 10464  df-exp 10538
This theorem is referenced by:  exprecap  10579
  Copyright terms: Public domain W3C validator