ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expaddzap GIF version

Theorem expaddzap 9850
Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzap (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))

Proof of Theorem expaddzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 8674 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 elznn0nn 8674 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)))
3 expadd 9848 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
433expia 1143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
54adantlr 461 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
6 expaddzaplem 9849 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
763expia 1143 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
85, 7jaodan 744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
9 expaddzaplem 9849 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)) = ((𝐴𝑁) · (𝐴𝑀)))
10 simp3 943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 8638 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12 simp2l 967 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1312recnd 7437 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1411, 13addcomd 7554 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
1514oveq2d 5610 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)))
16 simp1l 965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 expcl 9824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
1816, 10, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
19 simp1r 966 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
2013negnegd 7705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
21 simp2r 968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2221nnnn0d 8636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
23 nn0negz 8694 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝑁 ∈ ℕ0 → --𝑁 ∈ ℤ)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → --𝑁 ∈ ℤ)
2520, 24eqeltrrd 2162 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 expclzap 9831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2716, 19, 25, 26syl3anc 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
2818, 27mulcomd 7430 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)) = ((𝐴𝑁) · (𝐴𝑀)))
299, 15, 283eqtr4d 2127 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
30293expia 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
3130impancom 256 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
32 simp2l 967 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3332recnd 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
34 simp3l 969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3534recnd 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3633, 35negdid 7727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
3736oveq2d 5610 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)))
38 simp1l 965 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 simp2r 968 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ)
4039nnnn0d 8636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
41 simp3r 970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
4241nnnn0d 8636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
43 expadd 9848 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4537, 44eqtrd 2117 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4645oveq2d 5610 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
47 1t1e1 8479 . . . . . . . . . . 11 (1 · 1) = 1
4847oveq1i 5604 . . . . . . . . . 10 ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
4946, 48syl6eqr 2135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
50 expcl 9824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
5138, 40, 50syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
52 simp1r 966 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
5340nn0zd 8776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
54 expap0i 9838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
5538, 52, 53, 54syl3anc 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
56 expcl 9824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
5738, 42, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
5842nn0zd 8776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
59 expap0i 9838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
6038, 52, 58, 59syl3anc 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
61 ax-1cn 7359 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
62 divmuldivap 8095 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
6361, 61, 62mpanl12 427 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
6451, 55, 57, 60, 63syl22anc 1173 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
6549, 64eqtr4d 2120 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
6633, 35addcld 7428 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
6740, 42nn0addcld 8640 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 + -𝑁) ∈ ℕ0)
6836, 67eqeltrd 2161 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
69 expineg2 9815 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
7038, 52, 66, 68, 69syl22anc 1173 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
71 expineg2 9815 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
7238, 52, 33, 40, 71syl22anc 1173 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
73 expineg2 9815 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
7438, 52, 35, 42, 73syl22anc 1173 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
7572, 74oveq12d 5612 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
7665, 70, 753eqtr4d 2127 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
77763expia 1143 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
7831, 77jaodan 744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
798, 78jaod 670 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
802, 79sylan2b 281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
811, 80syl5bi 150 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁))))
8281impr 371 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴𝑀) · (𝐴𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cc 7269  cr 7270  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274   · cmul 7276  -cneg 7575   # cap 7976   / cdiv 8055  cn 8334  0cn0 8583  cz 8660  cexp 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-iseq 9755  df-iexp 9806
This theorem is referenced by:  m1expeven  9853  expsubap  9854  expp1zap  9855
  Copyright terms: Public domain W3C validator