ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expaddzap GIF version

Theorem expaddzap 10577
Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expaddzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9280 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 elznn0nn 9280 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)))
3 expadd 10575 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
433expia 1206 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
54adantlr 477 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
6 expaddzaplem 10576 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
763expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
85, 7jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
9 expaddzaplem 10576 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
10 simp3 1000 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 9244 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
12 simp2l 1024 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1312recnd 7999 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13addcomd 8121 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘€))
1514oveq2d 5904 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (๐ดโ†‘(๐‘ + ๐‘€)))
16 simp1l 1022 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 expcl 10551 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1816, 10, 17syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
19 simp1r 1023 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 0)
2013negnegd 8272 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
21 simp2r 1025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
2221nnnn0d 9242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
23 nn0negz 9300 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ --๐‘ โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘ โˆˆ โ„ค)
2520, 24eqeltrrd 2265 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 expclzap 10558 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
2716, 19, 25, 26syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
2818, 27mulcomd 7992 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
299, 15, 283eqtr4d 2230 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
30293expia 1206 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
3130impancom 260 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
32 simp2l 1024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3332recnd 7999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
34 simp3l 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3534recnd 7999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3633, 35negdid 8294 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ + -๐‘))
3736oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) = (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)))
38 simp1l 1022 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 simp2r 1025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•)
4039nnnn0d 9242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
41 simp3r 1027 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
4241nnnn0d 9242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
43 expadd 10575 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4537, 44eqtrd 2220 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4645oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
47 1t1e1 9084 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท 1) = 1
4847oveq1i 5898 . . . . . . . . . 10 ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4946, 48eqtr4di 2238 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
50 expcl 10551 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5138, 40, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
52 simp1r 1023 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
5340nn0zd 9386 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54 expap0i 10565 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
5538, 52, 53, 54syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
56 expcl 10551 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
5738, 42, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
5842nn0zd 9386 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
59 expap0i 10565 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
6038, 52, 58, 59syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
61 ax-1cn 7917 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
62 divmuldivap 8682 . . . . . . . . . . 11 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0) โˆง ((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0))) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6361, 61, 62mpanl12 436 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0) โˆง ((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6451, 55, 57, 60, 63syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6549, 64eqtr4d 2223 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))))
6633, 35addcld 7990 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6740, 42nn0addcld 9246 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘€ + -๐‘) โˆˆ โ„•0)
6836, 67eqeltrd 2264 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
69 expineg2 10542 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
7038, 52, 66, 68, 69syl22anc 1249 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
71 expineg2 10542 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7238, 52, 33, 40, 71syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
73 expineg2 10542 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
7438, 52, 35, 42, 73syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
7572, 74oveq12d 5906 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))))
7665, 70, 753eqtr4d 2230 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
77763expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
7831, 77jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
798, 78jaod 718 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
802, 79sylan2b 287 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
811, 80biimtrid 152 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
8281impr 379 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829  -cneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  โ†‘cexp 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-exp 10533
This theorem is referenced by:  m1expeven  10580  expsubap  10581  expp1zap  10582  pcaddlem  12351
  Copyright terms: Public domain W3C validator