expaddzap - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem expaddzap 10583

Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
expaddzap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

**Proof of Theorem expaddzap**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9286	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elznn0nn 9286	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)))
3		expadd 10581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
4	3	3expia 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
5	4	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
6		expaddzaplem 10582	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
7	6	3expia 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
8	5, 7	jaodan 798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
9		expaddzaplem 10582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐴↑𝑀)))
10		simp3 1001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℕ₀)
11	10	nn0cnd 9250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simp2l 1025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	recnd 8005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcomd 8127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
15	14	oveq2d 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)))
16		simp1l 1023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		expcl 10557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 10, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
19		simp1r 1024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝐴 # 0)
20	13	negnegd 8278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → --𝑁 = 𝑁)
21		simp2r 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → -𝑁 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → -𝑁 ∈ ℕ₀)
23		nn0negz 9306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ₀ → --𝑁 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → --𝑁 ∈ ℤ)
25	20, 24	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		expclzap 10564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
27	16, 19, 25, 26	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
28	18, 27	mulcomd 7998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐴↑𝑀)))
29	9, 15, 28	3eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
30	29	3expia 1207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
31	30	impancom 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
32		simp2l 1025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	recnd 8005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
34		simp3l 1027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	recnd 8005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	33, 35	negdid 8300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
37	36	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)))
38		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simp2r 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ)
40	39	nnnn0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
41		simp3r 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 9248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ₀)
43		expadd 10581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
45	37, 44	eqtrd 2222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
46	45	oveq2d 5907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
47		1t1e1 9090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 1) = 1
48	47	oveq1i 5901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
49	46, 48	eqtr4di 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
50		expcl 10557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
51	38, 40, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
52		simp1r 1024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
53	40	nn0zd 9392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
54		expap0i 10571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
55	38, 52, 53, 54	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
56		expcl 10557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
58	42	nn0zd 9392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
59		expap0i 10571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
60	38, 52, 58, 59	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
61		ax-1cn 7923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		divmuldivap 8688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
63	61, 61, 62	mpanl12 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
64	51, 55, 57, 60, 63	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
65	49, 64	eqtr4d 2225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
66	33, 35	addcld 7996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
67	40, 42	nn0addcld 9252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 + -𝑁) ∈ ℕ₀)
68	36, 67	eqeltrd 2266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
69		expineg2 10548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
70	38, 52, 66, 68, 69	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
71		expineg2 10548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
72	38, 52, 33, 40, 71	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
73		expineg2 10548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
74	38, 52, 35, 42, 73	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
75	72, 74	oveq12d 5909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
76	65, 70, 75	3eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
77	76	3expia 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
78	31, 77	jaodan 798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
79	8, 78	jaod 718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
80	2, 79	sylan2b 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
81	1, 80	biimtrid 152	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
82	81	impr 379	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∨ wo 709 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2160 class class class wbr 4018 (class class class)co 5891 ℂcc 7828 ℝcr 7829 0cc0 7830 1c1 7831 + caddc 7833 · cmul 7835 -cneg 8148 # cap 8557 / cdiv 8648 ℕcn 8938 ℕ₀cn0 9195 ℤcz 9272 ↑cexp 10538

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-frec 6410 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 df-inn 8939 df-n0 9196 df-z 9273 df-uz 9548 df-seqfrec 10465 df-exp 10539

This theorem is referenced by: m1expeven 10586 expsubap 10587 expp1zap 10588 pcaddlem 12357

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