ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expaddzap GIF version

Theorem expaddzap 10583
Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expaddzap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expaddzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9286 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 elznn0nn 9286 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)))
3 expadd 10581 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
433expia 1207 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
54adantlr 477 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
6 expaddzaplem 10582 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
763expia 1207 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
85, 7jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
9 expaddzaplem 10582 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ + ๐‘€)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
10 simp3 1001 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 9250 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
12 simp2l 1025 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1312recnd 8005 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1411, 13addcomd 8127 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) = (๐‘ + ๐‘€))
1514oveq2d 5907 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (๐ดโ†‘(๐‘ + ๐‘€)))
16 simp1l 1023 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 expcl 10557 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1816, 10, 17syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
19 simp1r 1024 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 0)
2013negnegd 8278 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
21 simp2r 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
2221nnnn0d 9248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
23 nn0negz 9306 . . . . . . . . . . . . 13 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ --๐‘ โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘ โˆˆ โ„ค)
2520, 24eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 expclzap 10564 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
2716, 19, 25, 26syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
2818, 27mulcomd 7998 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘€)))
299, 15, 283eqtr4d 2232 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
30293expia 1207 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
3130impancom 260 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
32 simp2l 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3332recnd 8005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
34 simp3l 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3534recnd 8005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3633, 35negdid 8300 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) = (-๐‘€ + -๐‘))
3736oveq2d 5907 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) = (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)))
38 simp1l 1023 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
39 simp2r 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•)
4039nnnn0d 9248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
41 simp3r 1028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
4241nnnn0d 9248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
43 expadd 10581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4438, 40, 42, 43syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ + -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4537, 44eqtrd 2222 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4645oveq2d 5907 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
47 1t1e1 9090 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท 1) = 1
4847oveq1i 5901 . . . . . . . . . 10 ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘)))
4946, 48eqtr4di 2240 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
50 expcl 10557 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5138, 40, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
52 simp1r 1024 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
5340nn0zd 9392 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54 expap0i 10571 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
5538, 52, 53, 54syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
56 expcl 10557 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
5738, 42, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
5842nn0zd 9392 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
59 expap0i 10571 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
6038, 52, 58, 59syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)
61 ax-1cn 7923 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
62 divmuldivap 8688 . . . . . . . . . . 11 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โˆง (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0) โˆง ((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0))) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6361, 61, 62mpanl12 436 . . . . . . . . . 10 ((((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0) โˆง ((๐ดโ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘) # 0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6451, 55, 57, 60, 63syl22anc 1250 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))) = ((1 ยท 1) / ((๐ดโ†‘-๐‘€) ยท (๐ดโ†‘-๐‘))))
6549, 64eqtr4d 2225 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))))
6633, 35addcld 7996 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
6740, 42nn0addcld 9252 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘€ + -๐‘) โˆˆ โ„•0)
6836, 67eqeltrd 2266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
69 expineg2 10548 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
7038, 52, 66, 68, 69syl22anc 1250 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ + ๐‘))))
71 expineg2 10548 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7238, 52, 33, 40, 71syl22anc 1250 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
73 expineg2 10548 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
7438, 52, 35, 42, 73syl22anc 1250 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘)))
7572, 74oveq12d 5909 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) ยท (1 / (๐ดโ†‘-๐‘))))
7665, 70, 753eqtr4d 2232 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
77763expia 1207 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
7831, 77jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
798, 78jaod 718 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
802, 79sylan2b 287 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
811, 80biimtrid 152 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
8281impr 379 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  โ„‚cc 7828  โ„cr 7829  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835  -cneg 8148   # cap 8557   / cdiv 8648  โ„•cn 8938  โ„•0cn0 9195  โ„คcz 9272  โ†‘cexp 10538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-seqfrec 10465  df-exp 10539
This theorem is referenced by:  m1expeven  10586  expsubap  10587  expp1zap  10588  pcaddlem  12357
  Copyright terms: Public domain W3C validator