Theorem expaddzap 10520

Description: Sum of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expaddzap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expaddzap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elznn0nn 9226	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)))
3		expadd 10518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
4	3	3expia 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
5	4	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
6		expaddzaplem 10519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
7	6	3expia 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
8	5, 7	jaodan 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
9		expaddzaplem 10519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐴↑𝑀)))
10		simp3 994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simp2l 1018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
13	12	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
14	11, 13	addcomd 8070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
15	14	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(𝑁 + 𝑀)))
16		simp1l 1016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 10, 17	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
19		simp1r 1017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
20	13	negnegd 8221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → --𝑁 = 𝑁)
21		simp2r 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
22	21	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
23		nn0negz 9246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → --𝑁 ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → --𝑁 ∈ ℤ)
25	20, 24	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		expclzap 10501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
27	16, 19, 25, 26	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
28	18, 27	mulcomd 7941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) · (𝐴↑𝑀)))
29	9, 15, 28	3eqtr4d 2213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
30	29	3expia 1200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
31	30	impancom 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
32		simp2l 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33	32	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
34		simp3l 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	33, 35	negdid 8243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 + -𝑁))
37	36	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)))
38		simp1l 1016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39		simp2r 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ)
40	39	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
41		simp3r 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
43		expadd 10518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
44	38, 40, 42, 43	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 + -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
45	37, 44	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
46	45	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
47		1t1e1 9030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 1) = 1
48	47	oveq1i 5863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁)))
49	46, 48	eqtr4di 2221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
50		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
51	38, 40, 50	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
52		simp1r 1017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
53	40	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
54		expap0i 10508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
55	38, 52, 53, 54	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
56		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
57	38, 42, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
58	42	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
59		expap0i 10508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
60	38, 52, 58, 59	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑁) # 0)
61		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
62		divmuldivap 8629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0))) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
63	61, 61, 62	mpanl12 434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0) ∧ ((𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑁) # 0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
64	51, 55, 57, 60, 63	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))) = ((1 · 1) / ((𝐴↑-𝑀) · (𝐴↑-𝑁))))
65	49, 64	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
66	33, 35	addcld 7939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
67	40, 42	nn0addcld 9192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 + -𝑁) ∈ ℕ0)
68	36, 67	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
69		expineg2 10485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
70	38, 52, 66, 68, 69	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
71		expineg2 10485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
72	38, 52, 33, 40, 71	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
73		expineg2 10485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
74	38, 52, 35, 42, 73	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
75	72, 74	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (1 / (𝐴↑-𝑁))))
76	65, 70, 75	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
77	76	3expia 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
78	31, 77	jaodan 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
79	8, 78	jaod 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
80	2, 79	sylan2b 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
81	1, 80	syl5bi 151	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
82	81	impr 377	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  m1expeven  10523  expsubap  10524  expp1zap  10525  pcaddlem  12292