Theorem ecqusaddd 13308

Description: Addition of equivalence classes in a quotient group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem ecqusaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2	1	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
3		3anass 984	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
5		ecqusaddd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6		ecqusaddd.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
7	6	oveq2i 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
8	5, 7	eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
9		ecqusaddd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
12	8, 9, 10, 11	qusadd 13304	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
14	6	eceq2i 6625	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
15	6	eceq2i 6625	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
16	14, 15	oveq12i 5930	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
17	6	eceq2i 6625	. . 3 ⊢ [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
18	13, 16, 17	3eqtr4g 2251	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ )
19	18	eqcomd 2199	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  [cec 6585  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695   /_s cqus 12883  NrmSGrpcnsg 13238   ~_QG cqg 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242

This theorem is referenced by:  ecqusaddcl  13309