Theorem ecqusaddd 13574

Description: Addition of equivalence classes in a quotient group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecqusaddd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
ecqusaddd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ecqusaddd.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
ecqusaddd.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
ecqusaddd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Proof of Theorem ecqusaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecqusaddd.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
2	1	anim1i 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
3		3anass 985	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	2, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
5		ecqusaddd.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
6		ecqusaddd.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
7	6	oveq2i 5955	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
8	5, 7	eqtri 2226	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
9		ecqusaddd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
10		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
12	8, 9, 10, 11	qusadd 13570	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
13	4, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼))
14	6	eceq2i 6658	. . . 4 ⊢ [𝐴] ∼ = [𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)
15	6	eceq2i 6658	. . . 4 ⊢ [𝐶] ∼ = [𝐶](𝑅 ~QG 𝐼)
16	14, 15	oveq12i 5956	. . 3 ⊢ ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = ([𝐴](𝑅 ~QG 𝐼)(+g‘𝑄)[𝐶](𝑅 ~QG 𝐼))
17	6	eceq2i 6658	. . 3 ⊢ [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)](𝑅 ~QG 𝐼)
18	13, 16, 17	3eqtr4g 2263	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ) = [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ )
19	18	eqcomd 2211	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → [(𝐴(+g‘𝑅)𝐶)] ∼ = ([𝐴] ∼ (+g‘𝑄)[𝐶] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  [cec 6618  Basecbs 12832  +_gcplusg 12909   /_s cqus 13132  NrmSGrpcnsg 13504   ~_QG cqg 13505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-iimas 13134  df-qus 13135  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-nsg 13507  df-eqg 13508

This theorem is referenced by:  ecqusaddcl  13575