ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzen2 GIF version

Theorem frecfzen2 9721
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
Assertion
Ref Expression
frecfzen2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem frecfzen2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 8917 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 eluzelz 8921 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 1z 8670 . . . . 5 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 8685 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 405 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6 fzen 9350 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1170 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
81zcnd 8763 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 7339 . . . . 5 1 ∈ ℂ
10 pncan3 7591 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
118, 9, 10sylancl 404 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12 zcn 8649 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13 zcn 8649 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14 addsubass 7593 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
159, 14mp3an2 1257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1612, 13, 15syl2an 283 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
172, 1, 16syl2anc 403 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
1817eqcomd 2088 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
1911, 18oveq12d 5607 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
207, 19breqtrd 3835 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21 peano2uz 8964 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
22 uznn0sub 8943 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23 frecfzennn.1 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2423frecfzennn 9720 . . 3 (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
2521, 22, 243syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26 entr 6429 . 2 (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
2720, 25, 26syl2anc 403 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3811  cmpt 3865  ccnv 4398  cfv 4967  (class class class)co 5589  freccfrec 6085  cen 6383  cc 7249  0cc0 7251  1c1 7252   + caddc 7254  cmin 7554  0cn0 8563  cz 8644  cuz 8912  ...cfz 9317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-frec 6086  df-1o 6111  df-er 6220  df-en 6386  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-uz 8913  df-fz 9318
This theorem is referenced by:  fzfig  9724
  Copyright terms: Public domain W3C validator