Theorem frecfzen2 10864

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
frecfzen2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem frecfzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9926	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9931	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 9670	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 9685	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		fzen 10447	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
8	1	zcnd 9769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 8272	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 8534	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12		zcn 9649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 9649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		addsubass 8536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
15	9, 14	mp3an2 1366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
16	12, 13, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
17	2, 1, 16	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
18	17	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
19	11, 18	oveq12d 6103	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
20	7, 19	breqtrd 4156	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21		peano2uz 9983	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		uznn0sub 9954	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23		frecfzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
24	23	frecfzennn 10863	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
25	21, 22, 24	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26		entr 7071	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
27	20, 25, 26	syl2anc 415	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ^◡ccnv 4773  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  freccfrec 6661   ≈ cen 7020  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  fzfig  10867