Theorem frecfzen2 10522

Description: The cardinality of a finite set of sequential integers with arbitrary endpoints. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecfzennn.1	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)

Assertion

Ref	Expression
frecfzen2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Proof of Theorem frecfzen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 9609	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 9613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1z 9355	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 9370	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		fzen 10121	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))))
8	1	zcnd 9452	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 7975	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 8237	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
12		zcn 9334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 9334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		addsubass 8239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
15	9, 14	mp3an2 1336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
16	12, 13, 15	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
17	2, 1, 16	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) = (𝑁 + (1 − 𝑀)))
18	17	eqcomd 2202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + (1 − 𝑀)) = ((𝑁 + 1) − 𝑀))
19	11, 18	oveq12d 5941	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + (1 − 𝑀))...(𝑁 + (1 − 𝑀))) = (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
20	7, 19	breqtrd 4060	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)))
21		peano2uz 9660	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		uznn0sub 9636	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
23		frecfzennn.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
24	23	frecfzennn 10521	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
25	21, 22, 24	3syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
26		entr 6845	. 2 ⊢ (((𝑀...𝑁) ≈ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∧ (1...((𝑁 + 1) − 𝑀)) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
27	20, 25, 26	syl2anc 411	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ (◡𝐺‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ^◡ccnv 4663  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  freccfrec 6450   ≈ cen 6799  ℂcc 7880  0cc0 7882  1c1 7883   + caddc 7885   − cmin 8200  ℕ₀cn0 9252  ℤcz 9329  ℤ_≥cuz 9604  ...cfz 10086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-1o 6476  df-er 6594  df-en 6802  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-inn 8994  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-fz 10087

This theorem is referenced by:  fzfig  10525