Theorem bccmpl 10984

Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccmpl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 10980	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		fznn0sub2 10332	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
3		bcval2 10980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
5		elfznn0 10318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 10966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 9132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9		elfznn0 10318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 10966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 9132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcomd 8176	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
13		elfz3nn0 10319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		elfzelz 10229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		nn0cn 9387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
16		zcn 9459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17		nncan 8383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
20	19	fveq2d 5633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) = (!‘𝐾))
21	20	oveq1d 6022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
22	12, 21	eqtr4d 2265	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
23	22	oveq2d 6023	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
24	4, 23	eqtr4d 2265	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
25	1, 24	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
26	25	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
27		bcval3 10981	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28		simp1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0z 9474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		zsubcl 9495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
33		fznn0sub2 10332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁))
34	18	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
35	33, 34	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
36	35	con3d 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37	36	3impia 1224	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
38		bcval3 10981	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
39	28, 32, 37, 38	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
40	27, 39	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
41	40	3expa 1227	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
42		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
43		0zd 9466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
44	29	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
45		fzdcel 10244	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
47		exmiddc 841	. . 3 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
48	46, 47	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
49	26, 41, 48	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007   · cmul 8012   − cmin 8325   / cdiv 8827  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ...cfz 10212  !cfa 10955  Ccbc 10977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-fac 10956  df-bc 10978

This theorem is referenced by:  bcnn  10987  bcnp1n  10989  bcp1m1  10995  bcnm1  11002