ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bccmpl GIF version

Theorem bccmpl 10512
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bccmpl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl
StepHypRef Expression
1 bcval2 10508 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2 fznn0sub2 9917 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
3 bcval2 10508 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
5 elfznn0 9906 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
65faccld 10494 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
76nncnd 8746 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
82, 7syl 14 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
9 elfznn0 9906 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109faccld 10494 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1110nncnd 8746 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
128, 11mulcomd 7799 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
13 elfz3nn0 9907 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 elfzelz 9818 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15 nn0cn 8999 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
16 zcn 9071 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17 nncan 8003 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
1815, 16, 17syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
1913, 14, 18syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
2019fveq2d 5425 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) = (!‘𝐾))
2120oveq1d 5789 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
2212, 21eqtr4d 2175 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))))
2322oveq2d 5790 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
244, 23eqtr4d 2175 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
251, 24eqtr4d 2175 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
2625adantl 275 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
27 bcval3 10509 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28 simp1 981 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 nn0z 9086 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
30 zsubcl 9107 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
3129, 30sylan 281 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
32313adant3 1001 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
33 fznn0sub2 9917 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁))
3418eleq1d 2208 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3533, 34syl5ib 153 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3635con3d 620 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37363impia 1178 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
38 bcval3 10509 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
3928, 32, 37, 38syl3anc 1216 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
4027, 39eqtr4d 2175 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
41403expa 1181 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
42 simpr 109 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
43 0zd 9078 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
4429adantr 274 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
45 fzdcel 9832 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1216 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
47 exmiddc 821 . . 3 (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
4846, 47syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
4926, 41, 48mpjaodan 787 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  DECID wdc 819  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632   · cmul 7637  cmin 7945   / cdiv 8444  0cn0 8989  cz 9066  ...cfz 9802  !cfa 10483  Ccbc 10505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-fz 9803  df-seqfrec 10231  df-fac 10484  df-bc 10506
This theorem is referenced by:  bcnn  10515  bcnp1n  10517  bcp1m1  10523  bcnm1  10530
  Copyright terms: Public domain W3C validator