Theorem fzodisjsn 10368

Description: A half-open integer range and the singleton of its upper bound are disjoint. (Contributed by AV, 7-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fzodisjsn	⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅

Proof of Theorem fzodisjsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disj1 3542	. 2 ⊢ (((𝐴..^𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}))
2		elfzoelz 10331	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	zred 9557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		elfzolt2 10341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5	3, 4	ltned 8248	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ≠ 𝐵)
6	5	neneqd 2421	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
7		elsni 3684	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
8	6, 7	nsyl 631	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
9	1, 8	mpgbir 1499	1 ⊢ ((𝐴..^𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  {csn 3666  (class class class)co 5994  ..^cfzo 10326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-fz 10193  df-fzo 10327

This theorem is referenced by:  cats1un  11239