Theorem mulsucdiv2z 11312

Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulsucdiv2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem mulsucdiv2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 8950	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		peano2z 8884	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3		zmulcl 8901	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan2 281	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
5		zcn 8853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2	zcnd 8968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7		2cnd 8593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ap0 8613	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
10	5, 6, 7, 9	div23apd 8392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)))
11	10	eleq1d 2163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
12	11	adantl 272	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
13	4, 12	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
14	13	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
15		zmulcl 8901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
16	15	ancoms 265	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
17	5, 6, 7, 9	divassapd 8390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)))
18	17	eleq1d 2163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
19	18	adantl 272	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
20	16, 19	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
21	20	ex 114	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
22	14, 21	jaoi 674	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
23	1, 22	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 667   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   # cap 8155   / cdiv 8236  2c2 8571  ℤcz 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  11313