![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulsucdiv2z | GIF version |
Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsucdiv2z | โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | zeo 9371 | . 2 โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | |
2 | peano2z 9302 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ + 1) โ โค) | |
3 | zmulcl 9319 | . . . . . 6 โข (((๐ / 2) โ โค โง (๐ + 1) โ โค) โ ((๐ / 2) ยท (๐ + 1)) โ โค) | |
4 | 2, 3 | sylan2 286 | . . . . 5 โข (((๐ / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ / 2) ยท (๐ + 1)) โ โค) |
5 | zcn 9271 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
6 | 2 | zcnd 9389 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ (๐ + 1) โ โ) |
7 | 2cnd 9005 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ 2 โ โ) | |
8 | 2ap0 9025 | . . . . . . . . 9 โข 2 # 0 | |
9 | 8 | a1i 9 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ 2 # 0) |
10 | 5, 6, 7, 9 | div23apd 8798 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) = ((๐ / 2) ยท (๐ + 1))) |
11 | 10 | eleq1d 2256 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค โ ((๐ / 2) ยท (๐ + 1)) โ โค)) |
12 | 11 | adantl 277 | . . . . 5 โข (((๐ / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค โ ((๐ / 2) ยท (๐ + 1)) โ โค)) |
13 | 4, 12 | mpbird 167 | . . . 4 โข (((๐ / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) |
14 | 13 | ex 115 | . . 3 โข ((๐ / 2) โ โค โ (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค)) |
15 | zmulcl 9319 | . . . . . 6 โข ((๐ โ โค โง ((๐ + 1) / 2) โ โค) โ (๐ ยท ((๐ + 1) / 2)) โ โค) | |
16 | 15 | ancoms 268 | . . . . 5 โข ((((๐ + 1) / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ ยท ((๐ + 1) / 2)) โ โค) |
17 | 5, 6, 7, 9 | divassapd 8796 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) = (๐ ยท ((๐ + 1) / 2))) |
18 | 17 | eleq1d 2256 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค โ (๐ ยท ((๐ + 1) / 2)) โ โค)) |
19 | 18 | adantl 277 | . . . . 5 โข ((((๐ + 1) / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ (((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค โ (๐ ยท ((๐ + 1) / 2)) โ โค)) |
20 | 16, 19 | mpbird 167 | . . . 4 โข ((((๐ + 1) / 2) โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) |
21 | 20 | ex 115 | . . 3 โข (((๐ + 1) / 2) โ โค โ (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค)) |
22 | 14, 21 | jaoi 717 | . 2 โข (((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค) โ (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค)) |
23 | 1, 22 | mpcom 36 | 1 โข (๐ โ โค โ ((๐ ยท (๐ + 1)) / 2) โ โค) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 โจ wo 709 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 0cc0 7824 1c1 7825 + caddc 7827 ยท cmul 7829 # cap 8551 / cdiv 8642 2c2 8983 โคcz 9266 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-n0 9190 df-z 9267 |
This theorem is referenced by: sqoddm1div8z 11904 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |