Theorem mulsucdiv2z 12026

Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulsucdiv2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem mulsucdiv2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 9422	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		peano2z 9353	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3		zmulcl 9370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
5		zcn 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2	zcnd 9440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7		2cnd 9055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ap0 9075	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
10	5, 6, 7, 9	div23apd 8847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)))
11	10	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
13	4, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
15		zmulcl 9370	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
17	5, 6, 7, 9	divassapd 8845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)))
18	17	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
20	16, 19	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
22	14, 21	jaoi 717	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
23	1, 22	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  12027