Theorem mulsucdiv2z 12451

Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulsucdiv2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem mulsucdiv2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 9585	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		peano2z 9515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3		zmulcl 9533	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
5		zcn 9484	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2	zcnd 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7		2cnd 9216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ap0 9236	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
10	5, 6, 7, 9	div23apd 9008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)))
11	10	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
13	4, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
15		zmulcl 9533	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
17	5, 6, 7, 9	divassapd 9006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)))
18	17	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
20	16, 19	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
22	14, 21	jaoi 723	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
23	1, 22	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   # cap 8761   / cdiv 8852  2c2 9194  ℤcz 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-n0 9403  df-z 9480

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  12452