Theorem mulsucdiv2z 12417

Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mulsucdiv2z	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem mulsucdiv2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 9568	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2		peano2z 9498	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3		zmulcl 9516	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
5		zcn 9467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
6	2	zcnd 9586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
7		2cnd 9199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8		2ap0 9219	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 # 0
9	8	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
10	5, 6, 7, 9	div23apd 8991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)))
11	10	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
12	11	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 / 2) · (𝑁 + 1)) ∈ ℤ))
13	4, 12	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
14	13	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
15		zmulcl 9516	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
16	15	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
17	5, 6, 7, 9	divassapd 8989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) = (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)))
18	17	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ))
20	16, 19	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)
21	20	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
22	14, 21	jaoi 721	. 2 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ))
23	1, 22	mpcom 36	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  0cc0 8015  1c1 8016   + caddc 8018   · cmul 8020   # cap 8744   / cdiv 8835  2c2 9177  ℤcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  12418