ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulsucdiv2z GIF version

Theorem mulsucdiv2z 11903
Description: An integer multiplied with its successor divided by 2 yields an integer, i.e. an integer multiplied with its successor is even. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
mulsucdiv2z (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem mulsucdiv2z
StepHypRef Expression
1 zeo 9371 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
2 peano2z 9302 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
3 zmulcl 9319 . . . . . 6 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค)
42, 3sylan2 286 . . . . 5 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค)
5 zcn 9271 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
62zcnd 9389 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 9005 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8 2ap0 9025 . . . . . . . . 9 2 # 0
98a1i 9 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
105, 6, 7, 9div23apd 8798 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)))
1110eleq1d 2256 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค))
1211adantl 277 . . . . 5 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ / 2) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„ค))
134, 12mpbird 167 . . . 4 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
1413ex 115 . . 3 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
15 zmulcl 9319 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
1615ancoms 268 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
175, 6, 7, 9divassapd 8796 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) = (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)))
1817eleq1d 2256 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค))
1918adantl 277 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค))
2016, 19mpbird 167 . . . 4 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
2120ex 115 . . 3 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
2214, 21jaoi 717 . 2 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค))
231, 22mpcom 36 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2) โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   # cap 8551   / cdiv 8642  2c2 8983  โ„คcz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  11904
  Copyright terms: Public domain W3C validator