Theorem nnne0d 9349

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnne0 9332	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8179  ℕcn 9304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9305

This theorem is used by:  eluz2n0  9971  flqdiv  10758  modsumfzodifsn  10833  facne0  11175  bitsmod  12723  gcdnncl  12744  gcdeq0  12754  dvdsgcdidd  12771  mulgcd  12793  sqgcd  12806  lcmeq0  12849  lcmgcdlem  12855  qredeu  12875  cncongr1  12881  prmind2  12898  isprm5lem  12919  divgcdodd  12921  oddpwdclemxy  12947  oddpwdclemodd  12950  divnumden  12974  hashdvds  12999  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem19  13061  pcprendvds2  13070  pcpremul  13072  pceulem  13073  pcqmul  13082  pc2dvds  13109  pcaddlem  13118  pcadd  13119  pcmpt2  13123  pcmptdvds  13124  pcbc  13130  expnprm  13132  prmpwdvds  13134  pockthlem  13135  4sqlem8  13164  4sqlem9  13165  4sqlem10  13166  4sqlem12  13181  4sqlem14  13183  4sqlem17  13186  znrrg  14995  dvply1  15866  mpodvdsmulf1o  16104  lgsval2lem  16129  lgsquad2lem1  16200  2sqlem3  16236  2sqlem8  16242  clwwlknonex2  16680  depindlem1  16747