Theorem nnne0d 9358

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnne0 9341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8185  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-inn 9314

This theorem is used by:  eluz2n0  9987  flqdiv  10779  modsumfzodifsn  10854  facne0  11197  bitsmod  12748  gcdnncl  12769  gcdeq0  12779  dvdsgcdidd  12796  mulgcd  12818  sqgcd  12831  lcmeq0  12874  lcmgcdlem  12880  qredeu  12900  cncongr1  12906  prmind2  12923  isprm5lem  12945  divgcdodd  12947  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemnfac  12976  divnumden  13001  hashdvds  13028  pythagtriplem4  13076  pythagtriplem19  13090  pcprendvds2  13099  pcpremul  13101  pceulem  13102  pcqmul  13111  pc2dvds  13138  pcaddlem  13147  pcadd  13148  pcmpt2  13152  pcmptdvds  13153  pcbc  13159  expnprm  13161  prmpwdvds  13163  pockthlem  13164  4sqlem8  13193  4sqlem9  13194  4sqlem10  13195  4sqlem12  13210  4sqlem14  13212  4sqlem17  13215  znrrg  15104  dvply1  15991  efchtqdvds  16265  ppiqeq0  16280  mpodvdsmulf1o  16284  bposlem6  16316  lgsval2lem  16334  lgsquad2lem1  16405  2sqlem3  16441  2sqlem8  16447  clwwlknonex2  16885  depindlem1  16952