Theorem nnne0d 8898

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnne0 8881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2335  0cc0 7749  ℕcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1re 7843  ax-addrcl 7846  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-inn 8854

This theorem is referenced by:  eluz2n0  9504  flqdiv  10252  modsumfzodifsn  10327  facne0  10646  gcdnncl  11896  gcdeq0  11906  dvdsgcdidd  11923  mulgcd  11945  sqgcd  11958  lcmeq0  11999  lcmgcdlem  12005  qredeu  12025  cncongr1  12031  prmind2  12048  isprm5lem  12069  divgcdodd  12071  oddpwdclemxy  12097  oddpwdclemodd  12100  divnumden  12124  hashdvds  12149  pythagtriplem4  12196  pythagtriplem19  12210  pcprendvds2  12219  pcpremul  12221  pceulem  12222  pcqmul  12231  pc2dvds  12257  pcaddlem  12266  pcadd  12267  pcmpt2  12270  pcmptdvds  12271  pcbc  12277  expnprm  12279  prmpwdvds  12281  pockthlem  12282  4sqlem8  12311  4sqlem9  12312  4sqlem10  12313  lgsval2lem  13511  2sqlem3  13553  2sqlem8  13559