Theorem nnne0d 9352

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnne0 9335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  0cc0 8180  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308

This theorem is used by:  eluz2n0  9981  flqdiv  10773  modsumfzodifsn  10848  facne0  11191  bitsmod  12742  gcdnncl  12763  gcdeq0  12773  dvdsgcdidd  12790  mulgcd  12812  sqgcd  12825  lcmeq0  12868  lcmgcdlem  12874  qredeu  12894  cncongr1  12900  prmind2  12917  isprm5lem  12939  divgcdodd  12941  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemnfac  12970  divnumden  12995  hashdvds  13022  pythagtriplem4  13070  pythagtriplem19  13084  pcprendvds2  13093  pcpremul  13095  pceulem  13096  pcqmul  13105  pc2dvds  13132  pcaddlem  13141  pcadd  13142  pcmpt2  13146  pcmptdvds  13147  pcbc  13153  expnprm  13155  prmpwdvds  13157  pockthlem  13158  4sqlem8  13187  4sqlem9  13188  4sqlem10  13189  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  4sqlem17  13209  znrrg  15079  dvply1  15957  efchtqdvds  16226  ppiqeq0  16241  mpodvdsmulf1o  16245  bposlem6  16277  lgsval2lem  16295  lgsquad2lem1  16366  2sqlem3  16402  2sqlem8  16408  clwwlknonex2  16846  depindlem1  16913