ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divnumden GIF version
Theorem divnumden 12198
Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divnumden ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Proof of Theorem divnumden
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2 nnz 9274 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
32adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
4 nnne0 8949 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
54neneqd 2368 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
65adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
76intnand 931 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
8 gcdn0cl 11965 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
91, 3, 7, 8syl21anc 1237 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
10 gcddvds 11966 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
112, 10sylan2 286 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡))
12 gcddiv 12022 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
131, 3, 9, 11, 12syl31anc 1241 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
149nncnd 8935 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚)
159nnap0d 8967 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) # 0)
1614, 15dividapd 8745 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) / (𝐴 gcd 𝐡)) = 1)
1713, 16eqtr3d 2212 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1)
18 zcn 9260 . . . 4 (𝐴 ∈ β„€ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1918adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
20 nncn 8929 . . . 4 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
22 simpr 110 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
2322nnap0d 8967 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 # 0)
24 divcanap7 8680 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 # 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) # 0)) β†’ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = (𝐴 / 𝐡))
2524eqcomd 2183 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 # 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) # 0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
2619, 21, 23, 14, 15, 25syl122anc 1247 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
27 znq 9626 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / 𝐡) ∈ β„š)
2811simpld 112 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴)
29 gcdcl 11969 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•0)
3029nn0zd 9375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
312, 30sylan2 286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€)
329nnne0d 8966 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0)
33 dvdsval2 11799 . . . . 5 (((𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝐡) β‰  0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3431, 32, 1, 33syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€))
3528, 34mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€)
3611simprd 114 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡)
37 nndivdvds 11805 . . . . 5 ((𝐡 ∈ β„• ∧ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3822, 9, 37syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 gcd 𝐡) βˆ₯ 𝐡 ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•))
3936, 38mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•)
40 qnumdenbi 12194 . . 3 (((𝐴 / 𝐡) ∈ β„š ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„€ ∧ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4127, 35, 39, 40syl3anc 1238 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) gcd (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐡) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) / (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))) ↔ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))))
4217, 26, 41mpbi2and 943 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   # cap 8540   / cdiv 8631  β„•cn 8921  β„€cz 9255  β„šcq 9621   βˆ₯ cdvds 11796   gcd cgcd 11945  numercnumer 12183  denomcdenom 12184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-numer 12185  df-denom 12186
This theorem is referenced by:  divdenle  12199
  Copyright terms: Public domain W3C validator