Theorem divnumden 12886

Description: Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divnumden	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Proof of Theorem divnumden

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 9592	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		nnne0 9261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
5	4	neneqd 2433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 𝐵 = 0)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
7	6	intnand 939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
8		gcdn0cl 12651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
9	1, 3, 7, 8	syl21anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
10		gcddvds 12652	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
11	2, 10	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
12		gcddiv 12708	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
13	1, 3, 9, 11, 12	syl31anc 1277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
14	9	nncnd 9247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
15	9	nnap0d 9279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) # 0)
16	14, 15	dividapd 9056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
17	13, 16	eqtr3d 2267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)
18		zcn 9578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		nncn 9241	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ)
23	22	nnap0d 9279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 # 0)
24		divcanap7 8991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
25	24	eqcomd 2238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) # 0)) → (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
26	19, 21, 23, 14, 15, 25	syl122anc 1283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
27		znq 9952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)
28	11	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
29		gcdcl 12655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9694	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
31	2, 30	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
32	9	nnne0d 9278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
33		dvdsval2 12469	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
34	31, 32, 1, 33	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ))
35	28, 34	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
36	11	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
37		nndivdvds 12475	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ))
38	22, 9, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ))
39	36, 38	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ)
40		qnumdenbi 12882	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℕ) → ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))) ↔ ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
41	27, 35, 39, 40	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1 ∧ (𝐴 / 𝐵) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))) ↔ ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
42	17, 26, 41	mpbi2and 952	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   # cap 8851   / cdiv 8942  ℕcn 9233  ℤcz 9573  ℚcq 9947   ∥ cdvds 12466   gcd cgcd 12642  numercnumer 12871  denomcdenom 12872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-gcd 12643  df-numer 12873  df-denom 12874

This theorem is referenced by:  divdenle  12887