Theorem nnap0d 9283

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9266	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  0cc0 8127   # cap 8855  ℕcn 9237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238

This theorem is referenced by:  qtri3or  10600  qbtwnrelemcalc  10615  intfracq  10682  flqdiv  10683  modqmulnn  10704  facndiv  11101  bcn0  11117  bcn1  11120  bcm1k  11122  bcp1n  11123  bcp1nk  11124  bcval5  11125  bcpasc  11128  bcm1n  11131  permnn  11134  divcnv  12183  trireciplem  12186  trirecip  12187  expcnvap0  12188  geo2sum  12200  geo2lim  12202  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemi1  12221  eftabs  12342  efcllemp  12344  ege2le3  12357  efcj  12359  efaddlem  12360  eftlub  12376  eirraplem  12463  dvdsflip  12537  bitsp1  12637  bitsfzo  12641  bitsmod  12642  bitscmp  12644  bitsinv1lem  12647  dvdsgcdidd  12690  mulgcd  12712  gcddiv  12715  sqgcd  12725  lcmgcdlem  12774  qredeu  12794  prmind2  12817  isprm5lem  12838  divgcdodd  12840  sqrt2irrlem  12858  oddpwdclemxy  12866  oddpwdclemodd  12869  oddpwdclemdc  12870  sqrt2irraplemnn  12876  sqrt2irrap  12877  qmuldeneqnum  12892  divnumden  12893  numdensq  12899  hashdvds  12918  phiprmpw  12919  pythagtriplem19  12980  pcprendvds2  12989  pcpremul  12991  pceulem  12992  pceu  12993  pcdiv  13000  pcqmul  13001  pcid  13022  pc2dvds  13028  dvdsprmpweqle  13035  pcaddlem  13037  pcadd  13038  oddprmdvds  13052  pockthlem  13054  4sqlem5  13080  mul4sqlem  13091  4sqlem12  13100  4sqlem15  13103  4sqlem16  13104  4sqlem17  13105  znrrg  14808  logbgcd1irraplemexp  15833  logbgcd1irraplemap  15834  pellexlem2  15846  mpodvdsmulf1o  15858  mersenne  15865  perfect  15869  lgseisenlem2  15944  lgseisenlem4  15946  lgsquadlem1  15950  m1lgs  15958  2sqlem3  15990  2sqlem8  15996  cvgcmp2nlemabs  16816  redcwlpolemeq1  16839