Theorem nnap0d 8884

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3967  0cc0 7734   # cap 8460  ℕcn 8838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-inn 8839

This theorem is referenced by:  qtri3or  10151  qbtwnrelemcalc  10164  intfracq  10228  flqdiv  10229  modqmulnn  10250  facndiv  10624  bcn0  10640  bcn1  10643  bcm1k  10645  bcp1n  10646  bcp1nk  10647  bcval5  10648  bcpasc  10651  permnn  10656  divcnv  11405  trireciplem  11408  trirecip  11409  expcnvap0  11410  geo2sum  11422  geo2lim  11424  cvgratnnlemfm  11437  cvgratnnlemrate  11438  mertenslemi1  11443  eftabs  11564  efcllemp  11566  ege2le3  11579  efcj  11581  efaddlem  11582  eftlub  11598  eirraplem  11684  dvdsflip  11755  dvdsgcdidd  11893  mulgcd  11915  gcddiv  11918  sqgcd  11928  lcmgcdlem  11969  qredeu  11989  prmind2  12012  divgcdodd  12033  sqrt2irrlem  12051  oddpwdclemxy  12059  oddpwdclemodd  12062  oddpwdclemdc  12063  sqrt2irraplemnn  12069  sqrt2irrap  12070  qmuldeneqnum  12085  divnumden  12086  numdensq  12092  hashdvds  12111  phiprmpw  12112  pythagtriplem19  12172  pcprendvds2  12181  pcpremul  12183  pceulem  12184  pceu  12185  logbgcd1irraplemexp  13356  logbgcd1irraplemap  13357  cvgcmp2nlemabs  13674  redcwlpolemeq1  13696