Theorem nnap0d 9231

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  0cc0 8075   # cap 8803  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  qtri3or  10546  qbtwnrelemcalc  10561  intfracq  10628  flqdiv  10629  modqmulnn  10650  facndiv  11047  bcn0  11063  bcn1  11066  bcm1k  11068  bcp1n  11069  bcp1nk  11070  bcval5  11071  bcpasc  11074  permnn  11079  divcnv  12121  trireciplem  12124  trirecip  12125  expcnvap0  12126  geo2sum  12138  geo2lim  12140  cvgratnnlemfm  12153  cvgratnnlemrate  12154  mertenslemi1  12159  eftabs  12280  efcllemp  12282  ege2le3  12295  efcj  12297  efaddlem  12298  eftlub  12314  eirraplem  12401  dvdsflip  12475  bitsp1  12575  bitsfzo  12579  bitsmod  12580  bitscmp  12582  bitsinv1lem  12585  dvdsgcdidd  12628  mulgcd  12650  gcddiv  12653  sqgcd  12663  lcmgcdlem  12712  qredeu  12732  prmind2  12755  isprm5lem  12776  divgcdodd  12778  sqrt2irrlem  12796  oddpwdclemxy  12804  oddpwdclemodd  12807  oddpwdclemdc  12808  sqrt2irraplemnn  12814  sqrt2irrap  12815  qmuldeneqnum  12830  divnumden  12831  numdensq  12837  hashdvds  12856  phiprmpw  12857  pythagtriplem19  12918  pcprendvds2  12927  pcpremul  12929  pceulem  12930  pceu  12931  pcdiv  12938  pcqmul  12939  pcid  12960  pc2dvds  12966  dvdsprmpweqle  12973  pcaddlem  12975  pcadd  12976  oddprmdvds  12990  pockthlem  12992  4sqlem5  13018  mul4sqlem  13029  4sqlem12  13038  4sqlem15  13041  4sqlem16  13042  4sqlem17  13043  znrrg  14739  logbgcd1irraplemexp  15762  logbgcd1irraplemap  15763  pellexlem2  15775  mpodvdsmulf1o  15787  mersenne  15794  perfect  15798  lgseisenlem2  15873  lgseisenlem4  15875  lgsquadlem1  15879  m1lgs  15887  2sqlem3  15919  2sqlem8  15925  cvgcmp2nlemabs  16747  redcwlpolemeq1  16770