Theorem nnap0d 9359

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  0cc0 8185   # cap 8917  ℕcn 9313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314

This theorem is used by:  qtri3or  10691  qbtwnrelemcalc  10706  intfracq  10777  flqdiv  10778  modqmulnn  10799  facndiv  11198  bcn0  11214  bcn1  11217  bcm1k  11219  bcp1n  11220  bcp1nk  11221  bcval5  11222  bcpasc  11225  bcm1n  11228  permnn  11231  hashf1  11308  divcnv  12288  trireciplem  12291  trirecip  12292  expcnvap0  12293  geo2sum  12305  geo2lim  12307  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  mertenslemi1  12326  eftabs  12447  efcllemp  12449  ege2le3  12462  efcj  12464  efaddlem  12465  eftlub  12481  eirraplem  12568  dvdsflip  12642  bitsp1  12742  bitsfzo  12746  bitsmod  12747  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  dvdsgcdidd  12795  mulgcd  12817  gcddiv  12820  sqgcd  12830  lcmgcdlem  12879  qredeu  12899  prmind2  12922  isprm5lem  12944  divgcdodd  12946  sqrt2irrlem  12964  nnmaxpwlemxy  12972  nnmaxpwlemnfac  12975  nnmaxpwlemparts  12976  sqrt2irraplemnn  12983  sqrt2irrap  12984  qmuldeneqnum  12999  divnumden  13000  numdensq  13006  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  pythagtriplem19  13089  pcprendvds2  13098  pcpremul  13100  pceulem  13101  pceu  13102  pcdiv  13109  pcqmul  13110  pcid  13131  pc2dvds  13137  dvdsprmpweqle  13144  pcaddlem  13146  pcadd  13147  oddprmdvds  13161  pockthlem  13163  4sqlem5  13189  mul4sqlem  13200  4sqlem12  13209  4sqlem15  13212  4sqlem16  13213  4sqlem17  13214  znrrg  15103  logbgcd1irraplemexp  16221  logbgcd1irraplemap  16222  log2tlbndlog2  16237  birthdaylem2  16243  birthdaylem3  16244  pellexlem2  16247  mpodvdsmulf1o  16301  mersenne  16314  perfect  16318  bcmono  16321  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem3  16330  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem4  16414  lgsquadlem1  16418  m1lgs  16426  2sqlem3  16458  2sqlem8  16464  cvgcmp2nlemabs  17304  redcwlpolemeq1  17328