Theorem nnap0d 9353

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  0cc0 8180   # cap 8912  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308

This theorem is used by:  qtri3or  10686  qbtwnrelemcalc  10701  intfracq  10772  flqdiv  10773  modqmulnn  10794  facndiv  11193  bcn0  11209  bcn1  11212  bcm1k  11214  bcp1n  11215  bcp1nk  11216  bcval5  11217  bcpasc  11220  bcm1n  11223  permnn  11226  hashf1  11303  divcnv  12283  trireciplem  12286  trirecip  12287  expcnvap0  12288  geo2sum  12300  geo2lim  12302  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  mertenslemi1  12321  eftabs  12442  efcllemp  12444  ege2le3  12457  efcj  12459  efaddlem  12460  eftlub  12476  eirraplem  12563  dvdsflip  12637  bitsp1  12737  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  dvdsgcdidd  12790  mulgcd  12812  gcddiv  12815  sqgcd  12825  lcmgcdlem  12874  qredeu  12894  prmind2  12917  isprm5lem  12939  divgcdodd  12941  sqrt2irrlem  12959  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemnfac  12970  nnmaxpwlemparts  12971  sqrt2irraplemnn  12978  sqrt2irrap  12979  qmuldeneqnum  12994  divnumden  12995  numdensq  13001  hashdvds  13022  phiprmpw  13023  pythagtriplem19  13084  pcprendvds2  13093  pcpremul  13095  pceulem  13096  pceu  13097  pcdiv  13104  pcqmul  13105  pcid  13126  pc2dvds  13132  dvdsprmpweqle  13139  pcaddlem  13141  pcadd  13142  oddprmdvds  13156  pockthlem  13158  4sqlem5  13184  mul4sqlem  13195  4sqlem12  13204  4sqlem15  13207  4sqlem16  13208  4sqlem17  13209  znrrg  15079  logbgcd1irraplemexp  16165  logbgcd1irraplemap  16166  log2tlbndlog2  16181  birthdaylem2  16187  birthdaylem3  16188  pellexlem2  16191  mpodvdsmulf1o  16245  mersenne  16258  perfect  16262  bcmono  16265  bclbnd  16268  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem4  16358  lgsquadlem1  16362  m1lgs  16370  2sqlem3  16402  2sqlem8  16408  cvgcmp2nlemabs  17247  redcwlpolemeq1  17271