Theorem nnap0d 8967

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  0cc0 7813   # cap 8540  ℕcn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-inn 8922

This theorem is referenced by:  qtri3or  10245  qbtwnrelemcalc  10258  intfracq  10322  flqdiv  10323  modqmulnn  10344  facndiv  10721  bcn0  10737  bcn1  10740  bcm1k  10742  bcp1n  10743  bcp1nk  10744  bcval5  10745  bcpasc  10748  permnn  10753  divcnv  11507  trireciplem  11510  trirecip  11511  expcnvap0  11512  geo2sum  11524  geo2lim  11526  cvgratnnlemfm  11539  cvgratnnlemrate  11540  mertenslemi1  11545  eftabs  11666  efcllemp  11668  ege2le3  11681  efcj  11683  efaddlem  11684  eftlub  11700  eirraplem  11786  dvdsflip  11859  dvdsgcdidd  11997  mulgcd  12019  gcddiv  12022  sqgcd  12032  lcmgcdlem  12079  qredeu  12099  prmind2  12122  isprm5lem  12143  divgcdodd  12145  sqrt2irrlem  12163  oddpwdclemxy  12171  oddpwdclemodd  12174  oddpwdclemdc  12175  sqrt2irraplemnn  12181  sqrt2irrap  12182  qmuldeneqnum  12197  divnumden  12198  numdensq  12204  hashdvds  12223  phiprmpw  12224  pythagtriplem19  12284  pcprendvds2  12293  pcpremul  12295  pceulem  12296  pceu  12297  pcdiv  12304  pcqmul  12305  pcid  12325  pc2dvds  12331  dvdsprmpweqle  12338  pcaddlem  12340  pcadd  12341  oddprmdvds  12354  pockthlem  12356  4sqlem5  12382  mul4sqlem  12393  logbgcd1irraplemexp  14425  logbgcd1irraplemap  14426  lgseisenlem2  14490  m1lgs  14491  2sqlem3  14503  2sqlem8  14509  cvgcmp2nlemabs  14819  redcwlpolemeq1  14841