Theorem nnap0d 8790

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  0cc0 7644   # cap 8367  ℕcn 8744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-inn 8745

This theorem is referenced by:  qtri3or  10051  qbtwnrelemcalc  10064  intfracq  10124  flqdiv  10125  modqmulnn  10146  facndiv  10517  bcn0  10533  bcn1  10536  bcm1k  10538  bcp1n  10539  bcp1nk  10540  bcval5  10541  bcpasc  10544  permnn  10549  divcnv  11298  trireciplem  11301  trirecip  11302  expcnvap0  11303  geo2sum  11315  geo2lim  11317  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  mertenslemi1  11336  eftabs  11399  efcllemp  11401  ege2le3  11414  efcj  11416  efaddlem  11417  eftlub  11433  eirraplem  11519  dvdsflip  11585  dvdsgcdidd  11718  mulgcd  11740  gcddiv  11743  sqgcd  11753  lcmgcdlem  11794  qredeu  11814  prmind2  11837  divgcdodd  11857  sqrt2irrlem  11875  oddpwdclemxy  11883  oddpwdclemodd  11886  oddpwdclemdc  11887  sqrt2irraplemnn  11893  sqrt2irrap  11894  qmuldeneqnum  11909  divnumden  11910  numdensq  11916  hashdvds  11933  phiprmpw  11934  logbgcd1irraplemexp  13093  logbgcd1irraplemap  13094  cvgcmp2nlemabs  13402  redcwlpolemeq1  13421