Theorem nnap0d 8994

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  0cc0 7840   # cap 8567  ℕcn 8948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-inn 8949

This theorem is referenced by:  qtri3or  10272  qbtwnrelemcalc  10285  intfracq  10350  flqdiv  10351  modqmulnn  10372  facndiv  10750  bcn0  10766  bcn1  10769  bcm1k  10771  bcp1n  10772  bcp1nk  10773  bcval5  10774  bcpasc  10777  permnn  10782  divcnv  11536  trireciplem  11539  trirecip  11540  expcnvap0  11541  geo2sum  11553  geo2lim  11555  cvgratnnlemfm  11568  cvgratnnlemrate  11569  mertenslemi1  11574  eftabs  11695  efcllemp  11697  ege2le3  11710  efcj  11712  efaddlem  11713  eftlub  11729  eirraplem  11815  dvdsflip  11888  dvdsgcdidd  12026  mulgcd  12048  gcddiv  12051  sqgcd  12061  lcmgcdlem  12108  qredeu  12128  prmind2  12151  isprm5lem  12172  divgcdodd  12174  sqrt2irrlem  12192  oddpwdclemxy  12200  oddpwdclemodd  12203  oddpwdclemdc  12204  sqrt2irraplemnn  12210  sqrt2irrap  12211  qmuldeneqnum  12226  divnumden  12227  numdensq  12233  hashdvds  12252  phiprmpw  12253  pythagtriplem19  12313  pcprendvds2  12322  pcpremul  12324  pceulem  12325  pceu  12326  pcdiv  12333  pcqmul  12334  pcid  12355  pc2dvds  12361  dvdsprmpweqle  12368  pcaddlem  12370  pcadd  12371  oddprmdvds  12385  pockthlem  12387  4sqlem5  12413  mul4sqlem  12424  4sqlem12  12433  4sqlem15  12436  4sqlem16  12437  4sqlem17  12438  logbgcd1irraplemexp  14838  logbgcd1irraplemap  14839  lgseisenlem2  14904  m1lgs  14905  2sqlem3  14917  2sqlem8  14923  cvgcmp2nlemabs  15234  redcwlpolemeq1  15256