Theorem nnap0d 9285

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9268	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  0cc0 8129   # cap 8857  ℕcn 9239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-inn 9240

This theorem is referenced by:  qtri3or  10604  qbtwnrelemcalc  10619  intfracq  10686  flqdiv  10687  modqmulnn  10708  facndiv  11105  bcn0  11121  bcn1  11124  bcm1k  11126  bcp1n  11127  bcp1nk  11128  bcval5  11129  bcpasc  11132  bcm1n  11135  permnn  11138  divcnv  12187  trireciplem  12190  trirecip  12191  expcnvap0  12192  geo2sum  12204  geo2lim  12206  cvgratnnlemfm  12219  cvgratnnlemrate  12220  mertenslemi1  12225  eftabs  12346  efcllemp  12348  ege2le3  12361  efcj  12363  efaddlem  12364  eftlub  12380  eirraplem  12467  dvdsflip  12541  bitsp1  12641  bitsfzo  12645  bitsmod  12646  bitscmp  12648  bitsinv1lem  12651  dvdsgcdidd  12694  mulgcd  12716  gcddiv  12719  sqgcd  12729  lcmgcdlem  12778  qredeu  12798  prmind2  12821  isprm5lem  12842  divgcdodd  12844  sqrt2irrlem  12862  oddpwdclemxy  12870  oddpwdclemodd  12873  oddpwdclemdc  12874  sqrt2irraplemnn  12880  sqrt2irrap  12881  qmuldeneqnum  12896  divnumden  12897  numdensq  12903  hashdvds  12922  phiprmpw  12923  pythagtriplem19  12984  pcprendvds2  12993  pcpremul  12995  pceulem  12996  pceu  12997  pcdiv  13004  pcqmul  13005  pcid  13026  pc2dvds  13032  dvdsprmpweqle  13039  pcaddlem  13041  pcadd  13042  oddprmdvds  13056  pockthlem  13058  4sqlem5  13084  mul4sqlem  13095  4sqlem12  13104  4sqlem15  13107  4sqlem16  13108  4sqlem17  13109  znrrg  14825  logbgcd1irraplemexp  15850  logbgcd1irraplemap  15851  pellexlem2  15863  mpodvdsmulf1o  15875  mersenne  15882  perfect  15886  lgseisenlem2  15961  lgseisenlem4  15963  lgsquadlem1  15967  m1lgs  15975  2sqlem3  16007  2sqlem8  16013  cvgcmp2nlemabs  16833  redcwlpolemeq1  16856