Theorem nnap0d 8899

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8882	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  0cc0 7749   # cap 8475  ℕcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-inn 8854

This theorem is referenced by:  qtri3or  10174  qbtwnrelemcalc  10187  intfracq  10251  flqdiv  10252  modqmulnn  10273  facndiv  10648  bcn0  10664  bcn1  10667  bcm1k  10669  bcp1n  10670  bcp1nk  10671  bcval5  10672  bcpasc  10675  permnn  10680  divcnv  11434  trireciplem  11437  trirecip  11438  expcnvap0  11439  geo2sum  11451  geo2lim  11453  cvgratnnlemfm  11466  cvgratnnlemrate  11467  mertenslemi1  11472  eftabs  11593  efcllemp  11595  ege2le3  11608  efcj  11610  efaddlem  11611  eftlub  11627  eirraplem  11713  dvdsflip  11785  dvdsgcdidd  11923  mulgcd  11945  gcddiv  11948  sqgcd  11958  lcmgcdlem  12005  qredeu  12025  prmind2  12048  isprm5lem  12069  divgcdodd  12071  sqrt2irrlem  12089  oddpwdclemxy  12097  oddpwdclemodd  12100  oddpwdclemdc  12101  sqrt2irraplemnn  12107  sqrt2irrap  12108  qmuldeneqnum  12123  divnumden  12124  numdensq  12130  hashdvds  12149  phiprmpw  12150  pythagtriplem19  12210  pcprendvds2  12219  pcpremul  12221  pceulem  12222  pceu  12223  pcdiv  12230  pcqmul  12231  pcid  12251  pc2dvds  12257  dvdsprmpweqle  12264  pcaddlem  12266  pcadd  12267  oddprmdvds  12280  pockthlem  12282  4sqlem5  12308  mul4sqlem  12319  logbgcd1irraplemexp  13486  logbgcd1irraplemap  13487  2sqlem3  13553  2sqlem8  13559  cvgcmp2nlemabs  13871  redcwlpolemeq1  13893