Theorem nnap0d 9179

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  0cc0 8022   # cap 8751  ℕcn 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-inn 9134

This theorem is referenced by:  qtri3or  10490  qbtwnrelemcalc  10505  intfracq  10572  flqdiv  10573  modqmulnn  10594  facndiv  10991  bcn0  11007  bcn1  11010  bcm1k  11012  bcp1n  11013  bcp1nk  11014  bcval5  11015  bcpasc  11018  permnn  11023  divcnv  12048  trireciplem  12051  trirecip  12052  expcnvap0  12053  geo2sum  12065  geo2lim  12067  cvgratnnlemfm  12080  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemi1  12086  eftabs  12207  efcllemp  12209  ege2le3  12222  efcj  12224  efaddlem  12225  eftlub  12241  eirraplem  12328  dvdsflip  12402  bitsp1  12502  bitsfzo  12506  bitsmod  12507  bitscmp  12509  bitsinv1lem  12512  dvdsgcdidd  12555  mulgcd  12577  gcddiv  12580  sqgcd  12590  lcmgcdlem  12639  qredeu  12659  prmind2  12682  isprm5lem  12703  divgcdodd  12705  sqrt2irrlem  12723  oddpwdclemxy  12731  oddpwdclemodd  12734  oddpwdclemdc  12735  sqrt2irraplemnn  12741  sqrt2irrap  12742  qmuldeneqnum  12757  divnumden  12758  numdensq  12764  hashdvds  12783  phiprmpw  12784  pythagtriplem19  12845  pcprendvds2  12854  pcpremul  12856  pceulem  12857  pceu  12858  pcdiv  12865  pcqmul  12866  pcid  12887  pc2dvds  12893  dvdsprmpweqle  12900  pcaddlem  12902  pcadd  12903  oddprmdvds  12917  pockthlem  12919  4sqlem5  12945  mul4sqlem  12956  4sqlem12  12965  4sqlem15  12968  4sqlem16  12969  4sqlem17  12970  znrrg  14664  logbgcd1irraplemexp  15682  logbgcd1irraplemap  15683  mpodvdsmulf1o  15704  mersenne  15711  perfect  15715  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem4  15792  lgsquadlem1  15796  m1lgs  15804  2sqlem3  15836  2sqlem8  15842  cvgcmp2nlemabs  16572  redcwlpolemeq1  16594