Theorem nnap0d 9329

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  0cc0 8169   # cap 8899  ℕcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  qtri3or  10653  qbtwnrelemcalc  10668  intfracq  10735  flqdiv  10736  modqmulnn  10757  facndiv  11155  bcn0  11171  bcn1  11174  bcm1k  11176  bcp1n  11177  bcp1nk  11178  bcval5  11179  bcpasc  11182  bcm1n  11185  permnn  11188  hashf1  11265  divcnv  12242  trireciplem  12245  trirecip  12246  expcnvap0  12247  geo2sum  12259  geo2lim  12261  cvgratnnlemfm  12274  cvgratnnlemrate  12275  mertenslemi1  12280  eftabs  12401  efcllemp  12403  ege2le3  12416  efcj  12418  efaddlem  12419  eftlub  12435  eirraplem  12522  dvdsflip  12596  bitsp1  12696  bitsfzo  12700  bitsmod  12701  bitscmp  12703  bitsinv1lem  12706  dvdsgcdidd  12749  mulgcd  12771  gcddiv  12774  sqgcd  12784  lcmgcdlem  12833  qredeu  12853  prmind2  12876  isprm5lem  12897  divgcdodd  12899  sqrt2irrlem  12917  oddpwdclemxy  12925  oddpwdclemodd  12928  oddpwdclemdc  12929  sqrt2irraplemnn  12935  sqrt2irrap  12936  qmuldeneqnum  12951  divnumden  12952  numdensq  12958  hashdvds  12977  phiprmpw  12978  pythagtriplem19  13039  pcprendvds2  13048  pcpremul  13050  pceulem  13051  pceu  13052  pcdiv  13059  pcqmul  13060  pcid  13081  pc2dvds  13087  dvdsprmpweqle  13094  pcaddlem  13096  pcadd  13097  oddprmdvds  13111  pockthlem  13113  4sqlem5  13139  mul4sqlem  13150  4sqlem12  13159  4sqlem15  13162  4sqlem16  13163  4sqlem17  13164  znrrg  14967  logbgcd1irraplemexp  15993  logbgcd1irraplemap  15994  pellexlem2  16006  mpodvdsmulf1o  16018  mersenne  16025  perfect  16029  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem4  16106  lgsquadlem1  16110  m1lgs  16118  2sqlem3  16150  2sqlem8  16156  cvgcmp2nlemabs  16986  redcwlpolemeq1  17009