Theorem nnap0d 9102

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9085	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  0cc0 7945   # cap 8674  ℕcn 9056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-inn 9057

This theorem is referenced by:  qtri3or  10405  qbtwnrelemcalc  10420  intfracq  10487  flqdiv  10488  modqmulnn  10509  facndiv  10906  bcn0  10922  bcn1  10925  bcm1k  10927  bcp1n  10928  bcp1nk  10929  bcval5  10930  bcpasc  10933  permnn  10938  divcnv  11883  trireciplem  11886  trirecip  11887  expcnvap0  11888  geo2sum  11900  geo2lim  11902  cvgratnnlemfm  11915  cvgratnnlemrate  11916  mertenslemi1  11921  eftabs  12042  efcllemp  12044  ege2le3  12057  efcj  12059  efaddlem  12060  eftlub  12076  eirraplem  12163  dvdsflip  12237  bitsp1  12337  bitsfzo  12341  bitsmod  12342  bitscmp  12344  bitsinv1lem  12347  dvdsgcdidd  12390  mulgcd  12412  gcddiv  12415  sqgcd  12425  lcmgcdlem  12474  qredeu  12494  prmind2  12517  isprm5lem  12538  divgcdodd  12540  sqrt2irrlem  12558  oddpwdclemxy  12566  oddpwdclemodd  12569  oddpwdclemdc  12570  sqrt2irraplemnn  12576  sqrt2irrap  12577  qmuldeneqnum  12592  divnumden  12593  numdensq  12599  hashdvds  12618  phiprmpw  12619  pythagtriplem19  12680  pcprendvds2  12689  pcpremul  12691  pceulem  12692  pceu  12693  pcdiv  12700  pcqmul  12701  pcid  12722  pc2dvds  12728  dvdsprmpweqle  12735  pcaddlem  12737  pcadd  12738  oddprmdvds  12752  pockthlem  12754  4sqlem5  12780  mul4sqlem  12791  4sqlem12  12800  4sqlem15  12803  4sqlem16  12804  4sqlem17  12805  znrrg  14497  logbgcd1irraplemexp  15515  logbgcd1irraplemap  15516  mpodvdsmulf1o  15537  mersenne  15544  perfect  15548  lgseisenlem2  15623  lgseisenlem4  15625  lgsquadlem1  15629  m1lgs  15637  2sqlem3  15669  2sqlem8  15675  cvgcmp2nlemabs  16112  redcwlpolemeq1  16134