Theorem nnap0d 8924

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 8907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  0cc0 7774   # cap 8500  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879

This theorem is referenced by:  qtri3or  10199  qbtwnrelemcalc  10212  intfracq  10276  flqdiv  10277  modqmulnn  10298  facndiv  10673  bcn0  10689  bcn1  10692  bcm1k  10694  bcp1n  10695  bcp1nk  10696  bcval5  10697  bcpasc  10700  permnn  10705  divcnv  11460  trireciplem  11463  trirecip  11464  expcnvap0  11465  geo2sum  11477  geo2lim  11479  cvgratnnlemfm  11492  cvgratnnlemrate  11493  mertenslemi1  11498  eftabs  11619  efcllemp  11621  ege2le3  11634  efcj  11636  efaddlem  11637  eftlub  11653  eirraplem  11739  dvdsflip  11811  dvdsgcdidd  11949  mulgcd  11971  gcddiv  11974  sqgcd  11984  lcmgcdlem  12031  qredeu  12051  prmind2  12074  isprm5lem  12095  divgcdodd  12097  sqrt2irrlem  12115  oddpwdclemxy  12123  oddpwdclemodd  12126  oddpwdclemdc  12127  sqrt2irraplemnn  12133  sqrt2irrap  12134  qmuldeneqnum  12149  divnumden  12150  numdensq  12156  hashdvds  12175  phiprmpw  12176  pythagtriplem19  12236  pcprendvds2  12245  pcpremul  12247  pceulem  12248  pceu  12249  pcdiv  12256  pcqmul  12257  pcid  12277  pc2dvds  12283  dvdsprmpweqle  12290  pcaddlem  12292  pcadd  12293  oddprmdvds  12306  pockthlem  12308  4sqlem5  12334  mul4sqlem  12345  logbgcd1irraplemexp  13680  logbgcd1irraplemap  13681  2sqlem3  13747  2sqlem8  13753  cvgcmp2nlemabs  14064  redcwlpolemeq1  14086