Theorem nnap0d 9053

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  0cc0 7896   # cap 8625  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  qtri3or  10347  qbtwnrelemcalc  10362  intfracq  10429  flqdiv  10430  modqmulnn  10451  facndiv  10848  bcn0  10864  bcn1  10867  bcm1k  10869  bcp1n  10870  bcp1nk  10871  bcval5  10872  bcpasc  10875  permnn  10880  divcnv  11679  trireciplem  11682  trirecip  11683  expcnvap0  11684  geo2sum  11696  geo2lim  11698  cvgratnnlemfm  11711  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemi1  11717  eftabs  11838  efcllemp  11840  ege2le3  11853  efcj  11855  efaddlem  11856  eftlub  11872  eirraplem  11959  dvdsflip  12033  bitsp1  12133  bitsfzo  12137  bitsmod  12138  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  dvdsgcdidd  12186  mulgcd  12208  gcddiv  12211  sqgcd  12221  lcmgcdlem  12270  qredeu  12290  prmind2  12313  isprm5lem  12334  divgcdodd  12336  sqrt2irrlem  12354  oddpwdclemxy  12362  oddpwdclemodd  12365  oddpwdclemdc  12366  sqrt2irraplemnn  12372  sqrt2irrap  12373  qmuldeneqnum  12388  divnumden  12389  numdensq  12395  hashdvds  12414  phiprmpw  12415  pythagtriplem19  12476  pcprendvds2  12485  pcpremul  12487  pceulem  12488  pceu  12489  pcdiv  12496  pcqmul  12497  pcid  12518  pc2dvds  12524  dvdsprmpweqle  12531  pcaddlem  12533  pcadd  12534  oddprmdvds  12548  pockthlem  12550  4sqlem5  12576  mul4sqlem  12587  4sqlem12  12596  4sqlem15  12599  4sqlem16  12600  4sqlem17  12601  znrrg  14292  logbgcd1irraplemexp  15288  logbgcd1irraplemap  15289  mpodvdsmulf1o  15310  mersenne  15317  perfect  15321  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem4  15398  lgsquadlem1  15402  m1lgs  15410  2sqlem3  15442  2sqlem8  15448  cvgcmp2nlemabs  15763  redcwlpolemeq1  15785