Theorem nnap0d 9055

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9038	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  0cc0 7898   # cap 8627  ℕcn 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-inn 9010

This theorem is referenced by:  qtri3or  10349  qbtwnrelemcalc  10364  intfracq  10431  flqdiv  10432  modqmulnn  10453  facndiv  10850  bcn0  10866  bcn1  10869  bcm1k  10871  bcp1n  10872  bcp1nk  10873  bcval5  10874  bcpasc  10877  permnn  10882  divcnv  11681  trireciplem  11684  trirecip  11685  expcnvap0  11686  geo2sum  11698  geo2lim  11700  cvgratnnlemfm  11713  cvgratnnlemrate  11714  mertenslemi1  11719  eftabs  11840  efcllemp  11842  ege2le3  11855  efcj  11857  efaddlem  11858  eftlub  11874  eirraplem  11961  dvdsflip  12035  bitsp1  12135  bitsfzo  12139  bitsmod  12140  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  dvdsgcdidd  12188  mulgcd  12210  gcddiv  12213  sqgcd  12223  lcmgcdlem  12272  qredeu  12292  prmind2  12315  isprm5lem  12336  divgcdodd  12338  sqrt2irrlem  12356  oddpwdclemxy  12364  oddpwdclemodd  12367  oddpwdclemdc  12368  sqrt2irraplemnn  12374  sqrt2irrap  12375  qmuldeneqnum  12390  divnumden  12391  numdensq  12397  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  pythagtriplem19  12478  pcprendvds2  12487  pcpremul  12489  pceulem  12490  pceu  12491  pcdiv  12498  pcqmul  12499  pcid  12520  pc2dvds  12526  dvdsprmpweqle  12533  pcaddlem  12535  pcadd  12536  oddprmdvds  12550  pockthlem  12552  4sqlem5  12578  mul4sqlem  12589  4sqlem12  12598  4sqlem15  12601  4sqlem16  12602  4sqlem17  12603  znrrg  14294  logbgcd1irraplemexp  15312  logbgcd1irraplemap  15313  mpodvdsmulf1o  15334  mersenne  15341  perfect  15345  lgseisenlem2  15420  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem1  15426  m1lgs  15434  2sqlem3  15466  2sqlem8  15472  cvgcmp2nlemabs  15789  redcwlpolemeq1  15811