Theorem nnap0d 9064

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9047	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  0cc0 7907   # cap 8636  ℕcn 9018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-inn 9019

This theorem is referenced by:  qtri3or  10364  qbtwnrelemcalc  10379  intfracq  10446  flqdiv  10447  modqmulnn  10468  facndiv  10865  bcn0  10881  bcn1  10884  bcm1k  10886  bcp1n  10887  bcp1nk  10888  bcval5  10889  bcpasc  10892  permnn  10897  divcnv  11727  trireciplem  11730  trirecip  11731  expcnvap0  11732  geo2sum  11744  geo2lim  11746  cvgratnnlemfm  11759  cvgratnnlemrate  11760  mertenslemi1  11765  eftabs  11886  efcllemp  11888  ege2le3  11901  efcj  11903  efaddlem  11904  eftlub  11920  eirraplem  12007  dvdsflip  12081  bitsp1  12181  bitsfzo  12185  bitsmod  12186  bitscmp  12188  bitsinv1lem  12191  dvdsgcdidd  12234  mulgcd  12256  gcddiv  12259  sqgcd  12269  lcmgcdlem  12318  qredeu  12338  prmind2  12361  isprm5lem  12382  divgcdodd  12384  sqrt2irrlem  12402  oddpwdclemxy  12410  oddpwdclemodd  12413  oddpwdclemdc  12414  sqrt2irraplemnn  12420  sqrt2irrap  12421  qmuldeneqnum  12436  divnumden  12437  numdensq  12443  hashdvds  12462  phiprmpw  12463  pythagtriplem19  12524  pcprendvds2  12533  pcpremul  12535  pceulem  12536  pceu  12537  pcdiv  12544  pcqmul  12545  pcid  12566  pc2dvds  12572  dvdsprmpweqle  12579  pcaddlem  12581  pcadd  12582  oddprmdvds  12596  pockthlem  12598  4sqlem5  12624  mul4sqlem  12635  4sqlem12  12644  4sqlem15  12647  4sqlem16  12648  4sqlem17  12649  znrrg  14340  logbgcd1irraplemexp  15358  logbgcd1irraplemap  15359  mpodvdsmulf1o  15380  mersenne  15387  perfect  15391  lgseisenlem2  15466  lgseisenlem4  15468  lgsquadlem1  15472  m1lgs  15480  2sqlem3  15512  2sqlem8  15518  cvgcmp2nlemabs  15835  redcwlpolemeq1  15857