Theorem nnap0d 9036

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  0cc0 7879   # cap 8608  ℕcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-inn 8991

This theorem is referenced by:  qtri3or  10330  qbtwnrelemcalc  10345  intfracq  10412  flqdiv  10413  modqmulnn  10434  facndiv  10831  bcn0  10847  bcn1  10850  bcm1k  10852  bcp1n  10853  bcp1nk  10854  bcval5  10855  bcpasc  10858  permnn  10863  divcnv  11662  trireciplem  11665  trirecip  11666  expcnvap0  11667  geo2sum  11679  geo2lim  11681  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemi1  11700  eftabs  11821  efcllemp  11823  ege2le3  11836  efcj  11838  efaddlem  11839  eftlub  11855  eirraplem  11942  dvdsflip  12016  bitsp1  12115  bitsfzo  12119  dvdsgcdidd  12161  mulgcd  12183  gcddiv  12186  sqgcd  12196  lcmgcdlem  12245  qredeu  12265  prmind2  12288  isprm5lem  12309  divgcdodd  12311  sqrt2irrlem  12329  oddpwdclemxy  12337  oddpwdclemodd  12340  oddpwdclemdc  12341  sqrt2irraplemnn  12347  sqrt2irrap  12348  qmuldeneqnum  12363  divnumden  12364  numdensq  12370  hashdvds  12389  phiprmpw  12390  pythagtriplem19  12451  pcprendvds2  12460  pcpremul  12462  pceulem  12463  pceu  12464  pcdiv  12471  pcqmul  12472  pcid  12493  pc2dvds  12499  dvdsprmpweqle  12506  pcaddlem  12508  pcadd  12509  oddprmdvds  12523  pockthlem  12525  4sqlem5  12551  mul4sqlem  12562  4sqlem12  12571  4sqlem15  12574  4sqlem16  12575  4sqlem17  12576  znrrg  14216  logbgcd1irraplemexp  15204  logbgcd1irraplemap  15205  mpodvdsmulf1o  15226  mersenne  15233  perfect  15237  lgseisenlem2  15312  lgseisenlem4  15314  lgsquadlem1  15318  m1lgs  15326  2sqlem3  15358  2sqlem8  15364  cvgcmp2nlemabs  15676  redcwlpolemeq1  15698