Theorem nnap0d 9030

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9013	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  0cc0 7874   # cap 8602  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  qtri3or  10313  qbtwnrelemcalc  10327  intfracq  10394  flqdiv  10395  modqmulnn  10416  facndiv  10813  bcn0  10829  bcn1  10832  bcm1k  10834  bcp1n  10835  bcp1nk  10836  bcval5  10837  bcpasc  10840  permnn  10845  divcnv  11643  trireciplem  11646  trirecip  11647  expcnvap0  11648  geo2sum  11660  geo2lim  11662  cvgratnnlemfm  11675  cvgratnnlemrate  11676  mertenslemi1  11681  eftabs  11802  efcllemp  11804  ege2le3  11817  efcj  11819  efaddlem  11820  eftlub  11836  eirraplem  11923  dvdsflip  11996  dvdsgcdidd  12134  mulgcd  12156  gcddiv  12159  sqgcd  12169  lcmgcdlem  12218  qredeu  12238  prmind2  12261  isprm5lem  12282  divgcdodd  12284  sqrt2irrlem  12302  oddpwdclemxy  12310  oddpwdclemodd  12313  oddpwdclemdc  12314  sqrt2irraplemnn  12320  sqrt2irrap  12321  qmuldeneqnum  12336  divnumden  12337  numdensq  12343  hashdvds  12362  phiprmpw  12363  pythagtriplem19  12423  pcprendvds2  12432  pcpremul  12434  pceulem  12435  pceu  12436  pcdiv  12443  pcqmul  12444  pcid  12465  pc2dvds  12471  dvdsprmpweqle  12478  pcaddlem  12480  pcadd  12481  oddprmdvds  12495  pockthlem  12497  4sqlem5  12523  mul4sqlem  12534  4sqlem12  12543  4sqlem15  12546  4sqlem16  12547  4sqlem17  12548  znrrg  14159  logbgcd1irraplemexp  15141  logbgcd1irraplemap  15142  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem4  15230  lgsquadlem1  15234  m1lgs  15242  2sqlem3  15274  2sqlem8  15280  cvgcmp2nlemabs  15592  redcwlpolemeq1  15614