Theorem nnap0d 9188

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  0cc0 8031   # cap 8760  ℕcn 9142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-inn 9143

This theorem is referenced by:  qtri3or  10499  qbtwnrelemcalc  10514  intfracq  10581  flqdiv  10582  modqmulnn  10603  facndiv  11000  bcn0  11016  bcn1  11019  bcm1k  11021  bcp1n  11022  bcp1nk  11023  bcval5  11024  bcpasc  11027  permnn  11032  divcnv  12057  trireciplem  12060  trirecip  12061  expcnvap0  12062  geo2sum  12074  geo2lim  12076  cvgratnnlemfm  12089  cvgratnnlemrate  12090  mertenslemi1  12095  eftabs  12216  efcllemp  12218  ege2le3  12231  efcj  12233  efaddlem  12234  eftlub  12250  eirraplem  12337  dvdsflip  12411  bitsp1  12511  bitsfzo  12515  bitsmod  12516  bitscmp  12518  bitsinv1lem  12521  dvdsgcdidd  12564  mulgcd  12586  gcddiv  12589  sqgcd  12599  lcmgcdlem  12648  qredeu  12668  prmind2  12691  isprm5lem  12712  divgcdodd  12714  sqrt2irrlem  12732  oddpwdclemxy  12740  oddpwdclemodd  12743  oddpwdclemdc  12744  sqrt2irraplemnn  12750  sqrt2irrap  12751  qmuldeneqnum  12766  divnumden  12767  numdensq  12773  hashdvds  12792  phiprmpw  12793  pythagtriplem19  12854  pcprendvds2  12863  pcpremul  12865  pceulem  12866  pceu  12867  pcdiv  12874  pcqmul  12875  pcid  12896  pc2dvds  12902  dvdsprmpweqle  12909  pcaddlem  12911  pcadd  12912  oddprmdvds  12926  pockthlem  12928  4sqlem5  12954  mul4sqlem  12965  4sqlem12  12974  4sqlem15  12977  4sqlem16  12978  4sqlem17  12979  znrrg  14673  logbgcd1irraplemexp  15691  logbgcd1irraplemap  15692  mpodvdsmulf1o  15713  mersenne  15720  perfect  15724  lgseisenlem2  15799  lgseisenlem4  15801  lgsquadlem1  15805  m1lgs  15813  2sqlem3  15845  2sqlem8  15851  cvgcmp2nlemabs  16636  redcwlpolemeq1  16658