Theorem nnap0d 9081

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  0cc0 7924   # cap 8653  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  qtri3or  10381  qbtwnrelemcalc  10396  intfracq  10463  flqdiv  10464  modqmulnn  10485  facndiv  10882  bcn0  10898  bcn1  10901  bcm1k  10903  bcp1n  10904  bcp1nk  10905  bcval5  10906  bcpasc  10909  permnn  10914  divcnv  11750  trireciplem  11753  trirecip  11754  expcnvap0  11755  geo2sum  11767  geo2lim  11769  cvgratnnlemfm  11782  cvgratnnlemrate  11783  mertenslemi1  11788  eftabs  11909  efcllemp  11911  ege2le3  11924  efcj  11926  efaddlem  11927  eftlub  11943  eirraplem  12030  dvdsflip  12104  bitsp1  12204  bitsfzo  12208  bitsmod  12209  bitscmp  12211  bitsinv1lem  12214  dvdsgcdidd  12257  mulgcd  12279  gcddiv  12282  sqgcd  12292  lcmgcdlem  12341  qredeu  12361  prmind2  12384  isprm5lem  12405  divgcdodd  12407  sqrt2irrlem  12425  oddpwdclemxy  12433  oddpwdclemodd  12436  oddpwdclemdc  12437  sqrt2irraplemnn  12443  sqrt2irrap  12444  qmuldeneqnum  12459  divnumden  12460  numdensq  12466  hashdvds  12485  phiprmpw  12486  pythagtriplem19  12547  pcprendvds2  12556  pcpremul  12558  pceulem  12559  pceu  12560  pcdiv  12567  pcqmul  12568  pcid  12589  pc2dvds  12595  dvdsprmpweqle  12602  pcaddlem  12604  pcadd  12605  oddprmdvds  12619  pockthlem  12621  4sqlem5  12647  mul4sqlem  12658  4sqlem12  12667  4sqlem15  12670  4sqlem16  12671  4sqlem17  12672  znrrg  14364  logbgcd1irraplemexp  15382  logbgcd1irraplemap  15383  mpodvdsmulf1o  15404  mersenne  15411  perfect  15415  lgseisenlem2  15490  lgseisenlem4  15492  lgsquadlem1  15496  m1lgs  15504  2sqlem3  15536  2sqlem8  15542  cvgcmp2nlemabs  15904  redcwlpolemeq1  15926