Theorem nnap0d 9152

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnap0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnap0 9135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  0cc0 7995   # cap 8724  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  qtri3or  10455  qbtwnrelemcalc  10470  intfracq  10537  flqdiv  10538  modqmulnn  10559  facndiv  10956  bcn0  10972  bcn1  10975  bcm1k  10977  bcp1n  10978  bcp1nk  10979  bcval5  10980  bcpasc  10983  permnn  10988  divcnv  12003  trireciplem  12006  trirecip  12007  expcnvap0  12008  geo2sum  12020  geo2lim  12022  cvgratnnlemfm  12035  cvgratnnlemrate  12036  mertenslemi1  12041  eftabs  12162  efcllemp  12164  ege2le3  12177  efcj  12179  efaddlem  12180  eftlub  12196  eirraplem  12283  dvdsflip  12357  bitsp1  12457  bitsfzo  12461  bitsmod  12462  bitscmp  12464  bitsinv1lem  12467  dvdsgcdidd  12510  mulgcd  12532  gcddiv  12535  sqgcd  12545  lcmgcdlem  12594  qredeu  12614  prmind2  12637  isprm5lem  12658  divgcdodd  12660  sqrt2irrlem  12678  oddpwdclemxy  12686  oddpwdclemodd  12689  oddpwdclemdc  12690  sqrt2irraplemnn  12696  sqrt2irrap  12697  qmuldeneqnum  12712  divnumden  12713  numdensq  12719  hashdvds  12738  phiprmpw  12739  pythagtriplem19  12800  pcprendvds2  12809  pcpremul  12811  pceulem  12812  pceu  12813  pcdiv  12820  pcqmul  12821  pcid  12842  pc2dvds  12848  dvdsprmpweqle  12855  pcaddlem  12857  pcadd  12858  oddprmdvds  12872  pockthlem  12874  4sqlem5  12900  mul4sqlem  12911  4sqlem12  12920  4sqlem15  12923  4sqlem16  12924  4sqlem17  12925  znrrg  14618  logbgcd1irraplemexp  15636  logbgcd1irraplemap  15637  mpodvdsmulf1o  15658  mersenne  15665  perfect  15669  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem4  15746  lgsquadlem1  15750  m1lgs  15758  2sqlem3  15790  2sqlem8  15796  cvgcmp2nlemabs  16359  redcwlpolemeq1  16381